Quais dos subconjuntos abaixo, munidos das operaçöes triviais é um subespaço vetorial do R^2 ?
S=(x, y) ; x^2+3 y=0

Passo 1

O enunciado nos dá o subconjunto
S = (x,y)inR^2 mid x^2 + 3y = 0
e pergunta se, com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar, S é um subespaço vetorial de R^2. Para isso, vamos verificar três propriedades básicas:
  1. Contém o vetor zero,
  2. Fechado sob adição,
  3. Fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero (0,0) pertence a S. Substituindo em x^2+3y=0 temos
0^2 + 3cdot0 = 0,
logo (0,0)in S. A primeira propriedade está satisfeita.

Passo 3

Testamos a clausura sob adição. Sejam
v1 = (x1,y1)in S, v2 = (x2,y2)in S
Isso significa
y1 = -tfrac13x1^2, y2 = -tfrac13x2^2
O somatório é
v1 + v2 = (,x1 + x2,; y1 + y2,)
Para pertencer a S deveríamos ter
(x1+x2)^2 + 3(y1+y2) = 0
Mas
(x1+x2)^2 + 3(y1+y2) = x1^2 + 2x1x2 + x2^2 + 3l(-tfrac13x1^2 - tfrac13x2^2r) = 2x1x2
Esse resultado só é zero em geral se x1x2=0, ou seja, não vale para vetores arbitrários de S. Portanto S não é fechado sob adição.

Passo 4

Como S falha ao ser fechado sob adição, concluímos que ele não satisfaz todas as propriedades de subespaço vetorial. Nem precisamos checar a multiplicação por escalar: basta uma falha.

Resposta

S não é subespaço vetorial de R^2.

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