Quais dos subconjuntos abaixo, munidos das operaçöes triviais é um subespaço vetorial do
?
Passo 1
O enunciado nos dá o subconjunto
e pergunta se, com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar,
é um subespaço vetorial de
. Para isso, vamos verificar três propriedades básicas:
- Contém o vetor zero,
- Fechado sob adição,
- Fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos se o vetor zero
pertence a
. Substituindo em
temos
logo
. A primeira propriedade está satisfeita.
Passo 3
Testamos a clausura sob adição. Sejam
Isso significa
O somatório é
Para pertencer a
deveríamos ter
Mas
Esse resultado só é zero em geral se
, ou seja, não vale para vetores arbitrários de
. Portanto
não é fechado sob adição.
Passo 4
Como
falha ao ser fechado sob adição, concluímos que ele não satisfaz todas as propriedades de subespaço vetorial. Nem precisamos checar a multiplicação por escalar: basta uma falha.