Sendo A=[rr1 & -1 0 & 2], qual das matrizes abaixo comuta com A ?
B=[l 2 3 ] C=[lll 1 & 3 & 2 4 & 5 & 1 ] D=[ll 0 & 0 1 & 0 ] E=[ll 5 & 2 0 & 3 ]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 1 & -1[6pt]0 & 2
e pede qual das matrizes B, C, D e E comuta com A. Duas matrizes de mesma ordem comutam se
AX = XA
Para isso vamos primeiro ver quais têm dimensão compatível e depois calcular AD, DA, AE e EA.]

Passo 2

As matrizes
B=2[3pt]3 e C=1&3&2[3pt]4&5&1
não são 2times2, então não é possível formar ambos os produtos AB e BA (ou AC e CA). Logo, B e C ficam de fora.]

Passo 3

Agora verificamos D. Temos
D = 0 & 0[3pt]1 & 0
Calculando
AD = 1 & -1[3pt]0 & 20 & 0[3pt]1 & 0 = -1 & 0[3pt]2 & 0,
DA = 0 & 0[3pt]1 & 01 & -1[3pt]0 & 2 = 0 & 0[3pt]1 & -1
Como AD neq DA, D não comuta com A.]

Passo 4

Finalmente verificamos E. Seja
E = 5 & 2[3pt]0 & 3
Calculamos
AE = 1 & -1[3pt]0 & 25 & 2[3pt]0 & 3 = 5 & -1[3pt]0 & 6,
EA = 5 & 2[3pt]0 & 31 & -1[3pt]0 & 2 = 5 & -1[3pt]0 & 6
Aqui AE = EA, então E comuta com A.]

Resposta

A única matriz que comuta com A é E.

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