Sendo a transformação linear dada por T(x, y, z)=(3 x-2 y+z, 4 y-z). Então |T(1,-1,-2)| é?
raiz5

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear
Tcolon R^3 to R^2, T(x,y,z) = (,3x - 2y + z,;4y - z,)
e pede o comprimento (norma) do vetor T(1,-1,-2). Vamos usar a definição de transformação linear para encontrar a imagem do vetor e depois usar a norma euclidiana em R^2.

Passo 2

Aplicamos T ao vetor (1,-1,-2). Por definição,
T(1,-1,-2) = l(,3cdot1 ;-;2cdot(-1);+;(-2),,;4cdot(-1);-;(-2)r)

Passo 3

Calculamos cada componente separadamente:
Primeira componente:
3cdot1 - 2cdot(-1) + (-2) = 3 + 2 - 2 = 3
Segunda componente:
4cdot(-1) - (-2) = -4 + 2 = -2
Portanto
T(1,-1,-2) = (3,,-2)

Passo 4

Agora calculamos a norma euclidiana de (3,-2). Lembrando que, para (a,b)inR^2,
|(a,b)| = raiza^2 + b^2,
temos
|T(1,-1,-2)| = raiz3^2 + (-2)^2 = raiz9 + 4 = raiz13

Resposta

raiz13

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