Sendo v1=(1,-2,1), v2=(2,0,-4) e w=(-4,-4,14). Verifique se o vetor w pode ser escrito como combinação linear de v1 e v2. O que este resultado indica do ponto de vista geométrico?

Passo 1

O enunciado dá os vetores
v1=(1,-2,1), v2=(2,0,-4) e w=(-4,-4,14) em R^3 e pergunta se w pertence ao espaço gerado por v1,v2. Do ponto de vista algébrico, isso significa procurar escalares alpha,beta tais que
alpha,v1+beta,v2=w

Passo 2

Escrevendo coordenada a coordenada, obtemos o sistema
alpha + 2beta = -4, -2alpha + 0beta = -4, alpha - 4beta = 14
Da segunda equação segue
-2alpha = -4 Longrightarrow alpha = 2
Substituindo alpha=2 na primeira equação,
2 + 2beta = -4 Longrightarrow 2beta = -6 Longrightarrow beta = -3
Finalmente, conferimos na terceira:
alpha - 4beta = 2 - 4(-3) = 2 + 12 = 14,
que bate com o sistema. Logo
w = 2,v1 ;-; 3,v2

Passo 3

Como encontramos alpha e beta que satisfazem alpha v1+beta v2=w, concluímos que ,winspanv1,v2. Geometricamente, isso significa que ,w está no mesmo plano que passa pela origem e contém v1 e v2; em outras palavras, os três vetores são coplanares.

Resposta

Sim, w = 2,v1 - 3,v2. Geometricamente, isso mostra que w pertence ao plano gerado por v1,v2.

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