Verifique se as funções abaixo representam funções de densidade de probabilidade (assuma que as funções se anulam fora do intervalo dado).
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
(representando-se que
fora desse intervalo) é uma função de densidade de probabilidade.
Informações dadas:
Informações dadas:
A pergunta é: essa
satisfaz as condições que caracterizam uma função densidade de probabilidade?
Passo 2
Vou lembrar quais são as duas condições necessárias e suficientes para uma função
ser uma função densidade de probabilidade (pdf):
Explicação rápida e intuitiva: a condição 1 garante que probabilidades locais não sejam negativas (probabilidade não pode ser negativa). A condição 2 garante que a soma (na verdade, a área) de probabilidades sobre todo o eixo real seja
, isto é, alguma coisa entre
e
vai acontecer com certeza. Essas são as duas verificações que vamos fazer.
Passo 3
Verificação da condição 1 (não negatividade). Para
no intervalo dado temos:
Como
, então
. Fora do intervalo
por hipótese. Logo para todo
vale
. Portanto a condição 1 está satisfeita.
Passo 4
Verificação da condição 2 (integral igual a
). Como
fora de
, a integral sobre todo o eixo reduz-se à integral sobre
:
Agora calculamos essa integral passo a passo. Sabemos que uma primitiva de
é
, pois
. Assim,
Interpretação: a área sob a curva
entre
e
é exatamente
, então a massa total de probabilidade é
. Portanto a condição 2 também está satisfeita.
Passo 5
Conclusão: como
para todo
e
, ambas as condições para ser uma função densidade de probabilidade são satisfeitas. Então
é uma pdf no intervalo
. Parabéns — deu tudo certo!
Resposta
Sim.
é uma função densidade de probabilidade no intervalo
.