Verifique se as funções abaixo representam funções de densidade de probabilidade (assuma que as funções se anulam fora do intervalo dado).
f(x)=2 x, 0 \leq x \leq 1

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x)=2x,\quad 0\le x\le 1
(representando-se que f(x)=0 fora desse intervalo) é uma função de densidade de probabilidade.
Informações dadas:
\text{(i)}\; f(x)=2x \text{ para } 0\le x\le 1;
\text{(ii)}\; f(x)=0 \text{ fora de }[0,1].
A pergunta é: essa f satisfaz as condições que caracterizam uma função densidade de probabilidade?

Passo 2

Vou lembrar quais são as duas condições necessárias e suficientes para uma função f ser uma função densidade de probabilidade (pdf):
\text{(Condição 1) } f(x)\ge 0 \text{ para todo } x\in\mathbb{R}.çã
\text{(Condição 2) } \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.çã
Explicação rápida e intuitiva: a condição 1 garante que probabilidades locais não sejam negativas (probabilidade não pode ser negativa). A condição 2 garante que a soma (na verdade, a área) de probabilidades sobre todo o eixo real seja 1, isto é, alguma coisa entre 0 e 1 vai acontecer com certeza. Essas são as duas verificações que vamos fazer.

Passo 3

Verificação da condição 1 (não negatividade). Para x no intervalo dado temos:
f(x)=2x.
Como 0\le x\le 1, então 2x\ge 0. Fora do intervalo f(x)=0 por hipótese. Logo para todo x\in\mathbb{R} vale f(x)\ge 0. Portanto a condição 1 está satisfeita.

Passo 4

Verificação da condição 2 (integral igual a 1). Como f(x)=0 fora de [0,1], a integral sobre todo o eixo reduz-se à integral sobre [0,1]:
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = \int_{0}^{1} 2x\,dx.
Agora calculamos essa integral passo a passo. Sabemos que uma primitiva de 2x é x^{2}, pois \dfrac{d}{dx}x^{2}=2x. Assim,
\int_{0}^{1} 2x\,dx = \bigl[x^{2}\bigr]_{0}^{1} = 1^{2}-0^{2}=1.
Interpretação: a área sob a curva f(x)=2x entre 0 e 1 é exatamente 1, então a massa total de probabilidade é 1. Portanto a condição 2 também está satisfeita.

Passo 5

Conclusão: como f(x)\ge 0 para todo x e \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx=1, ambas as condições para ser uma função densidade de probabilidade são satisfeitas. Então f é uma pdf no intervalo [0,1]. Parabéns — deu tudo certo!

Resposta

Sim. \;f(x)=2x é uma função densidade de probabilidade no intervalo [0,1].

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