Verifique se as funções abaixo representam funções de densidade de probabilidade (assuma que as funções se anulam fora do intervalo dado). h(x)=\left\{\begin{array}{lll}(2+x) / 4 & \text { se } & -2 \leq x \leq 0 \\\ (2-x) / 4 & \text { se } & 0 \leq x \leq 2 .\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função [h(x)) representa uma função de densidade de probabilidade, assumindo que h(x)=0 fora do intervalo dado. As informações fornecidas são:
O que devemos responder: confirmar se (h(x)] satisfaz as condições necessárias para ser uma densidade de probabilidade (sim ou não).]
Passo 2
Primeiro vamos lembrar claramente quais são as condições que uma função f(x) precisa satisfazer para ser uma densidade de probabilidade (vou explicar devagar para não enrolar):
Não-negatividade: \;f(x)\ge 0 para todo x no domínio (ou para todo x\in\mathbb{R}, considerando f(x)=0 onde não é definida). Isso significa que a função nunca assume valores negativos — faz sentido, porque probabilidades não podem ser negativas.
Normalização (área total igual a 1): \;\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1. Como aqui a função é zero fora de [-2,2], basta calcular \displaystyle \int_{-2}^{2} f(x)\,dx e verificar se dá 1.
Vou aplicar essas duas condições a h(x).
Passo 3
Verificação da não-negatividade (condição 1):
Para -2\le x\le 0 temos h(x)=\dfrac{2+x}{4}.
Observe que, se -2\le x\le 0, então 2+x varia de 0 (quando x=-2) até 2 (quando x=0). Logo 2+x\ge 0 nesse intervalo.
Dividindo por 4>0 não altera o sinal, então \dfrac{2+x}{4}\ge 0 para -2\le x\le 0.
Para 0\le x\le 2 temos h(x)=\dfrac{2-x}{4}.
Se 0\le x\le 2, então 2-x varia de 2 (quando x=0) até 0 (quando x=2). Assim 2-x\ge 0 nesse intervalo.
Dividindo por 4>0 mantém a não-negatividade, então \dfrac{2-x}{4}\ge 0 para 0\le x\le 2.
Conclusão do Passo 3: h(x)\ge 0 em todo o intervalo [-2,2] (e é zero fora dele por hipótese). A primeira condição está satisfeita.
Passo 4
Agora vamos verificar a normalização (condição 2): calcular \displaystyle \int_{-2}^{2} h(x)\,dx. Como h é definida por pedaços, fazemos a soma das integrais nos dois trechos:
A antiderivada de 2+x é 2x + \dfrac{x^2}{2}. Assim uma primitiva da função dentro é 2x+\dfrac{x^2}{2}. Multiplicando por 1/4, uma primitiva de \dfrac{2+x}{4} é
Assim a integral total é 1, logo a segunda condição (normalização) também está satisfeita.
Passo 8
Conclusão final: h(x) satisfaz ambas as condições necessárias para ser uma densidade de probabilidade (é não-negativa em todo o domínio e sua integral sobre \mathbb{R} é 1). Como comentário extra e útil para a prova: observe que h(x) é simétrica em torno de x=0 e contínua em x=0 (ambos os ramos valem \tfrac{1}{2} em x=0), mas isso não era exigido — só ajuda a entender o formato da densidade.
Resposta
Sim, h(x) é uma função densidade de probabilidade.