Verifique se as funções abaixo representam funções de densidade de probabilidade (assuma que as funções se anulam fora do intervalo dado).
h(x)=\left\{\begin{array}{lll}(2+x) / 4 & \text { se } & -2 \leq x \leq 0 \\\ (2-x) / 4 & \text { se } & 0 \leq x \leq 2 .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função [h(x)) representa uma função de densidade de probabilidade, assumindo que h(x)=0 fora do intervalo dado. As informações fornecidas são:
h(x)=\begin{cases} \dfrac{2+x}{4}, & \text{se } -2\le x\le 0,\\[6pt] \dfrac{2-x}{4}, & \text{se } 0\le x\le 2. \end{cases}
O que devemos responder: confirmar se (h(x)] satisfaz as condições necessárias para ser uma densidade de probabilidade (sim ou não).]

Passo 2

Primeiro vamos lembrar claramente quais são as condições que uma função f(x) precisa satisfazer para ser uma densidade de probabilidade (vou explicar devagar para não enrolar):
  1. Não-negatividade: \;f(x)\ge 0 para todo x no domínio (ou para todo x\in\mathbb{R}, considerando f(x)=0 onde não é definida). Isso significa que a função nunca assume valores negativos — faz sentido, porque probabilidades não podem ser negativas.
  2. Normalização (área total igual a 1): \;\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1. Como aqui a função é zero fora de [-2,2], basta calcular \displaystyle \int_{-2}^{2} f(x)\,dx e verificar se dá 1.
Vou aplicar essas duas condições a h(x).

Passo 3

Verificação da não-negatividade (condição 1):
  • Para -2\le x\le 0 temos h(x)=\dfrac{2+x}{4}.
    • Observe que, se -2\le x\le 0, então 2+x varia de 0 (quando x=-2) até 2 (quando x=0). Logo 2+x\ge 0 nesse intervalo.
    • Dividindo por 4>0 não altera o sinal, então \dfrac{2+x}{4}\ge 0 para -2\le x\le 0.
  • Para 0\le x\le 2 temos h(x)=\dfrac{2-x}{4}.
    • Se 0\le x\le 2, então 2-x varia de 2 (quando x=0) até 0 (quando x=2). Assim 2-x\ge 0 nesse intervalo.
    • Dividindo por 4>0 mantém a não-negatividade, então \dfrac{2-x}{4}\ge 0 para 0\le x\le 2.
Conclusão do Passo 3: h(x)\ge 0 em todo o intervalo [-2,2] (e é zero fora dele por hipótese). A primeira condição está satisfeita.

Passo 4

Agora vamos verificar a normalização (condição 2): calcular \displaystyle \int_{-2}^{2} h(x)\,dx. Como h é definida por pedaços, fazemos a soma das integrais nos dois trechos:
\int_{-2}^{2} h(x)\,dx = \int_{-2}^{0} \dfrac{2+x}{4}\,dx \;+\; \int_{0}^{2} \dfrac{2-x}{4}\,dx.
Vou calcular cada integral passo a passo, mostrando a primitiva (antiderivada).

Passo 5

Cálculo da primeira integral \displaystyle \int_{-2}^{0} \dfrac{2+x}{4}\,dx.
  • Fatoramos 1/4: \displaystyle \int_{-2}^{0} \dfrac{2+x}{4}\,dx = \dfrac{1}{4}\int_{-2}^{0} (2+x)\,dx.
  • A antiderivada de 2+x é 2x + \dfrac{x^2}{2}. Assim uma primitiva da função dentro é 2x+\dfrac{x^2}{2}. Multiplicando por 1/4, uma primitiva de \dfrac{2+x}{4} é
F_1(x)=\dfrac{1}{4}\left(2x+\dfrac{x^2}{2}\right).
Podemos simplificar F_1(x) para uma forma mais direta:
F_1(x)=\dfrac{x}{2}+\dfrac{x^2}{8}.
  • Avaliando nos extremos:
F_1(0)=\dfrac{0}{2}+\dfrac{0^2}{8}=0,
F_1(-2)=\dfrac{-2}{2}+\dfrac{(-2)^2}{8}=-1+\dfrac{4}{8}=-1+\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{2}.
  • Portanto
\int_{-2}^{0} \dfrac{2+x}{4}\,dx = F_1(0)-F_1(-2)=0-\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{2}.

Passo 6

Cálculo da segunda integral \displaystyle \int_{0}^{2} \dfrac{2-x}{4}\,dx.
  • Fatoramos 1/4: \displaystyle \int_{0}^{2} \dfrac{2-x}{4}\,dx = \dfrac{1}{4}\int_{0}^{2} (2-x)\,dx.
  • A antiderivada de 2-x é 2x - \dfrac{x^2}{2}. Multiplicando por 1/4, uma primitiva é
F_2(x)=\dfrac{1}{4}\left(2x-\dfrac{x^2}{2}\right)=\dfrac{x}{2}-\dfrac{x^2}{8}.
  • Avaliando nos extremos:
F_2(2)=\dfrac{2}{2}-\dfrac{2^2}{8}=1-\dfrac{4}{8}=1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2},
F_2(0)=0.
  • Portanto
\int_{0}^{2} \dfrac{2-x}{4}\,dx = F_2(2)-F_2(0)=\dfrac{1}{2}-0=\dfrac{1}{2}.

Passo 7

Somando as duas partes do Passo 5 e do Passo 6 temos
\int_{-2}^{2} h(x)\,dx = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1.
Assim a integral total é 1, logo a segunda condição (normalização) também está satisfeita.

Passo 8

Conclusão final: h(x) satisfaz ambas as condições necessárias para ser uma densidade de probabilidade (é não-negativa em todo o domínio e sua integral sobre \mathbb{R} é 1). Como comentário extra e útil para a prova: observe que h(x) é simétrica em torno de x=0 e contínua em x=0 (ambos os ramos valem \tfrac{1}{2} em x=0), mas isso não era exigido — só ajuda a entender o formato da densidade.

Resposta

Sim, h(x) é uma função densidade de probabilidade.

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