Sendo Y \sim \operatorname{Exp}(1), determine:
P(1<Y<4).

Passo 1

O que o exercício pede: calcular P(1<Y<4).
Informações dadas no enunciado:
  • Y tem distribuição exponencial com parâmetro 1, ou seja Y\sim\operatorname{Exp}(1).
  • A pergunta é a probabilidade de Y estar entre 1 e 4: P(1<Y<4).

Passo 2

Entendendo a distribuição exponencial (explicação didática):
  • A distribuição exponencial com parâmetro \lambda>0 tem densidade de probabilidade
f_Y(y)=\lambda e^{-\lambda y},\qquad y\ge 0.
Aqui \lambda é a taxa (quanto maior \lambda, mais concentrada perto de zero) e y é a variável aleatória. No nosso caso \lambda=1, logo
f_Y(y)=e^{-y},\qquad y\ge 0.
  • A função de distribuição acumulada (CDF) F_Y(y)=P(Y\le y) é obtida integrando a densidade desde 0 até y:
F_Y(y)=\int_{0}^{y} e^{-t}\,dt = 1 - e^{-y},\qquad y\ge0.
Aqui eu troquei a variável de integração para t para ficar claro que é uma variável de integração.

Passo 3

Como calcular P(1<Y<4):
  • Uma forma direta é usar a CDF:
P(1<Y<4)=F_Y(4)-F_Y(1).
  • Outra forma é escrever a própria integral da probabilidade, usando a densidade:
P(1<Y<4)=\int_{1}^{4} f_Y(y)\,dy = \int_{1}^{4} e^{-y}\,dy.
As duas abordagens são equivalentes; vou calcular pela integral para mostrar o passo a passo da integração.

Passo 4

Cálculo da integral passo a passo (antiderivada e avaliação):
  • A antiderivada de e^{-y} com respeito a y é -e^{-y}, porque \dfrac{d}{dy}(-e^{-y}) = e^{-y}.
  • Avaliando entre 1 e 4,
\int_{1}^{4} e^{-y}\,dy = \Big[-e^{-y}\Big]_{1}^{4} = -e^{-4} - \big(-e^{-1}\big) = e^{-1} - e^{-4}.
Portanto a expressão exata da probabilidade é e^{-1}-e^{-4}.

Passo 5

Interpretação numérica e checagem rápida:
  • Podemos aproximar os expoentes: e^{-1}\approx 0,3679 e e^{-4}\approx 0,0183.
  • Subtraindo: 0,3679-0,0183\approx 0,3496.
  • Logo a probabilidade é cerca de 0,3496, ou seja aproximadamente 34,96\%. Isso faz sentido: a exponencial com \lambda=1 tem média 1, então a probabilidade de estar entre 1 e 4 é uma parcela razoável da massa.

Resposta

e^{-1}-e^{-4} 0,3496

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