Sendo
, determine:
.
Passo 1
O que o exercício pede: calcular
.
Informações dadas no enunciado:
-
tem distribuição exponencial com parâmetro , ou seja . - A pergunta é a probabilidade de
estar entre e : .
Passo 2
Entendendo a distribuição exponencial (explicação didática):
- A distribuição exponencial com parâmetro
tem densidade de probabilidade
Aqui
é a taxa (quanto maior
, mais concentrada perto de zero) e
é a variável aleatória. No nosso caso
, logo
- A função de distribuição acumulada (CDF)
é obtida integrando a densidade desde até :
Aqui eu troquei a variável de integração para
para ficar claro que é uma variável de integração.
Passo 3
Como calcular
:
- Uma forma direta é usar a CDF:
- Outra forma é escrever a própria integral da probabilidade, usando a densidade:
As duas abordagens são equivalentes; vou calcular pela integral para mostrar o passo a passo da integração.
Passo 4
Cálculo da integral passo a passo (antiderivada e avaliação):
- A antiderivada de
com respeito a é , porque . - Avaliando entre
e ,
Portanto a expressão exata da probabilidade é
.
Passo 5
Interpretação numérica e checagem rápida:
- Podemos aproximar os expoentes:
e . - Subtraindo:
. - Logo a probabilidade é cerca de
, ou seja aproximadamente . Isso faz sentido: a exponencial com tem média , então a probabilidade de estar entre e é uma parcela razoável da massa.