Sendo y=y(x), resolva :
(2.5 pontos) 6 x^{2} y^{3}-x y+y+2 x y^{\prime}=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
6x^{2}y^{3} \;-\; x\,y \;+\; y \;+\; 2x\,y' \;=\;0,
onde y=y(x). Isso é uma equação de Bernoulli pois, ao isolar y', temos um termo em y^3. Vamos colocá-la na forma
y'+P(x)\,y = Q(x)\,y^{n}
com n=3, e em seguida usar a substituição u=y^{1-n}=y^{-2}.

Passo 2

Divide-se tudo por 2x para escrever em forma de Bernoulli:
y' \;+\;\frac{-x+1}{2x}\,y \;=\;-3x\,y^{3}.
Portanto temos
P(x)=\frac{-x+1}{2x}, \quad Q(x)=-3x, \quad n=3.

Passo 3

Na equação de Bernoulli faz-se a troca
u = y^{1-n} = y^{-2}.
Como
u' = -2\,\frac{y'}{y^{3}},
substituindo em
y' = -\frac{-x+1}{2x}\,y \;-\;3x\,y^{3}
obtém-se, após simplificações, a equação linear em u:
u' + \frac{x-1}{x}\,u = 6x.

Passo 4

Essa equação linear tem fator integrante
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int \frac{x-1}{x}\,dx\Bigr) = \exp\bigl(x - \ln|x|\bigr) = \frac{e^{x}}{x}.
Multiplicando por \mu(x) e integrando:
\frac{e^{x}}{x}\,u = \int 6e^{x}\,dx = 6e^{x} + C \quad\Longrightarrow\quad u(x) = 6x + C\,x\,e^{-x},
onde C é constante de integração.

Passo 5

Voltando à variável y com u=y^{-2}, fica
y^{-2} = 6x + C\,x\,e^{-x} \quad\Longrightarrow\quad y(x) = \pm\frac{1}{\sqrt{6x + C\,x\,e^{-x}}}.

Resposta

\displaystyle y(x)=\pm\frac{1}{\sqrt{x\bigl(6 + C\,e^{-x}\bigr)}}, com C constante de integração.

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