Sejam
e
números reais distintos. Demonstre por indução a proposição:
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o enunciado pede e o que vamos usar.
Enunciado: sejam e
números reais distintos. Provar, por indução em
, que
Enunciado: sejam
Conteúdo: princípio da indução matemática e divisibilidade em anéis (aqui podemos pensar em polinômios ou inteiros).
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Mostrar o caso base
. - Supor que vale para
(hipótese indutiva). - Usar essa hipótese para provar que vale para
, via manipulação algébrica.
Passo 2
Caso base (
).
Claramente
, porque
é um número (real) inteiro ou polinomial, dependendo do contexto. Então a base está feita.
Passo 3
Passo indutivo.
Hipótese indutiva: suponha que para algum valha
Hipótese indutiva: suponha que para algum
ou seja existe um
tal que
Queremos mostrar que então
. Vamos manipular:
Agrupando:
– Pelo que supomos,
, então
.
– Evidentemente .
Somando, divide a soma
. Pronto, passo indutivo feito!
– Evidentemente
Somando,
Passo 4
Como o caso base está ok e o passo indutivo também, pelo princípio da indução matemática concluímos que
Resposta
Para todo
,
logo
divide
.