Sejam a e b números reais distintos. Demonstre por indução a proposição:
(a-b) mid(a^n-b^n), forall n in N

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o enunciado pede e o que vamos usar.
Enunciado: sejam (a-b)midl(a^n - b^nr), forall ninN e números reais distintos. Provar, por indução em , que
Conteúdo: princípio da indução matemática e divisibilidade em anéis (aqui podemos pensar em polinômios ou inteiros).
O que vamos precisar:
  1. Mostrar o caso base .
  2. Supor que vale para (hipótese indutiva).
  3. Usar essa hipótese para provar que vale para , via manipulação algébrica.

Passo 2

Caso base ( a^1 - b^1 = a - b ).
Claramente , porque é um número (real) inteiro ou polinomial, dependendo do contexto. Então a base está feita.

Passo 3

Passo indutivo.
Hipótese indutiva: suponha que para algum (a-b)midl(a^k - b^kr), valha
a^k - b^k = (a-b),M
ou seja existe um a^k+1-b^k+1 = acdot a^k ;-; bcdot b^k = l(acdot a^k - acdot b^kr);+;l(acdot b^k - bcdot b^kr) tal que
a^k+1-b^k+1 = a,(a^k - b^k);+;b^k,(a - b)
Queremos mostrar que então . Vamos manipular:
Agrupando:
– Pelo que supomos, , então .
– Evidentemente .
Somando, divide a soma . Pronto, passo indutivo feito!

Passo 4

Como o caso base está ok e o passo indutivo também, pelo princípio da indução matemática concluímos que
(a-b)midl(a^n - b^nr)forall ninN

Resposta

Para todo a^n - b^na - b =sumi=0^n-1a^,n-1-ib^i, ,
logo divide .

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