Dê uma sequência
que satisfaça o enunciado. Não precisa provar, somente dar o exemplo.
cuja série é alternada é convergente.
Passo 1
O enunciado pede um exemplo de sequência
tal que a série
seja alternada e convergente. O enunciado especifica que não é necessário provar formalmente a convergência, apenas fornecer um exemplo concreto.
Passo 2
Para melhor compreensão, vamos revisar o que significam “série alternada” e “convergente”:
- Uma série é alternada quando os termos mudam de sinal de um termo para o próximo, ou seja, o sinal de
alterna entre positivo e negativo. Um jeito comum de garantir isso é ter um fator ou em . - A convergência da série significa que a soma parcial
tem limite finito quando .
Será escolhida uma sequência que satisfaça esses requisitos e explicar o porquê de forma didática.
Passo 3
A sequência proposta é:
O fator
garante a alternância dos sinais, e o módulo dos termos é
, que é uma sequência positiva que se aproxima de zero quando
.
Passo 4
Análise da sequência proposta:
- Alternância de sinais: como
, temos , , , etc., confirmando a alternância dos sinais. - Módulo dos termos: o módulo é
. Essa é uma sequência decrescente (para temos ) e tende a zero quando , ou seja, . - Critério de Leibniz: uma série com termos alternados cujo módulo forma uma sequência monótona decrescente que tende a zero converge. Essa é a justificativa para a convergência de
.
Passo 5
Observação: a série
converge, mas não converge absolutamente, pois a série dos módulos
(a série harmônica) diverge. A convergência alternada não implica convergência absoluta.