Dê uma sequência (a_{n})_{n \in \mathbb{N}} que satisfaça o enunciado. Não precisa provar, somente dar o exemplo.
(a_{n})_{n \in \mathbb{N}} cuja série é alternada é convergente.

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de sequência (a_{n})_{n\in\mathbb{N}} tal que a série \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} seja alternada e convergente. O enunciado especifica que não é necessário provar formalmente a convergência, apenas fornecer um exemplo concreto.

Passo 2

Para melhor compreensão, vamos revisar o que significam “série alternada” e “convergente”:
  • Uma série é alternada quando os termos mudam de sinal de um termo para o próximo, ou seja, o sinal de a_{n} alterna entre positivo e negativo. Um jeito comum de garantir isso é ter um fator (-1)^{n} ou (-1)^{n+1} em a_{n}.
  • A convergência da série significa que a soma parcial \displaystyle S_{N}=\sum_{n=1}^{N} a_{n} tem limite finito quando N\to\infty.
Será escolhida uma sequência que satisfaça esses requisitos e explicar o porquê de forma didática.

Passo 3

A sequência proposta é:
a_{n}=(-1)^{n}\,\frac{1}{n}.
O fator (-1)^{n} garante a alternância dos sinais, e o módulo dos termos é \dfrac{1}{n}, que é uma sequência positiva que se aproxima de zero quando n\to\infty.

Passo 4

Análise da sequência proposta:
  • Alternância de sinais: como a_{n}=(-1)^{n}\dfrac{1}{n}, temos a_{1}=-1, a_{2}=+\tfrac{1}{2}, a_{3}=-\tfrac{1}{3}, etc., confirmando a alternância dos sinais.
  • Módulo dos termos: o módulo é |a_{n}|=\dfrac{1}{n}. Essa é uma sequência decrescente (para n\ge 1 temos \dfrac{1}{n+1}<\dfrac{1}{n}) e tende a zero quando n\to\infty, ou seja, \displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}=0.
  • Critério de Leibniz: uma série com termos alternados cujo módulo forma uma sequência monótona decrescente que tende a zero converge. Essa é a justificativa para a convergência de \,a_{n}=(-1)^{n}\tfrac{1}{n}.

Passo 5

Observação: a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{n} converge, mas não converge absolutamente, pois a série dos módulos \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} (a série harmônica) diverge. A convergência alternada não implica convergência absoluta.

Resposta

a_{n}=(-1)^{n}\dfrac{1}{n}

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