Quais das sequências a_{n} abaixo convergem e quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.
a_{n}=\frac{(-1)^{n+1}}{2 n+1}

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
a_{n}=\frac{(-1)^{n+1}}{2\,n+1},
e pede para determinar se \{a_n\} converge ou diverge e, em caso de convergência, calcular o seu limite. O conteúdo aqui é análise de limite de sequência, usando noções de termo geral que tende a zero e o Teorema do Confronto (ou Squeeze).

Passo 2

Observe primeiro o comportamento do módulo de a_n:
\bigl|a_{n}\bigr|=\frac{\bigl|(-1)^{n+1}\bigr|}{2\,n+1}=\frac{1}{2\,n+1}.
Como 2\,n+1\to\infty quando n\to\infty, segue que
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2\,n+1}=0.

Passo 3

Agora, note que para todo n vale
-\frac{1}{2\,n+1}\le a_{n}\le \frac{1}{2\,n+1}.
Pelo Teorema do Confronto, já que os limites das sequências -1/(2n+1) e 1/(2n+1) são ambos iguais a 0, concluímos que
\lim_{n\to\infty}a_{n}=0.
Logo a sequência converge.

Resposta

A sequência \{a_n\} converge e
\lim_{n\to\infty}a_{n}=0.

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