Use o exercício anterior para determinar os limites das seguinte sequências: (Considere r>1 e k>0.)
a_{n}=\frac{\operatorname{sen}(n)}{n^{k}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \lim_{n\to\infty}a_{n}
onde
a_{n} = \frac{\sin(n)}{n^{k}},
sendo k>0.
O conteúdo envolve limites de sequência, uso de desigualdades (teorema do confronto) e o fato de que funções trigonométricas como \sin(n) são limitadas.

Passo 2

Sabemos que para todo n vale
-1 \le \sin(n) \le 1.
Dividindo essa desigualdade por n^{k}>0 obtemos
\left|\frac{\sin(n)}{n^{k}}\right| \le \frac{1}{n^{k}}.

Passo 3

Como k>0, é clássico que
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{k}} = 0.
Pelo teorema do confronto (squeeze theorem), isso implica
\lim_{n\to\infty}\frac{\sin(n)}{n^{k}} = 0.

Resposta

\lim_{n\to\infty}a_{n} = 0.

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