Use o exercício anterior para determinar os limites das seguinte sequências: (Considere r>1 e k>0.)
a_{n}=\frac{\cos (n)}{n^{k}}

Passo 1

O enunciado pede o limite da sequência
a_n = \frac{\cos(n)}{n^k}
quando n\to\infty, sabendo que k>0. O conteúdo aqui é análise de limite de sequência e vamos usar o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem), juntamente com o fato de que a função cosseno é limitada.

Passo 2

Sabemos que para todo n vale
-1 \le \cos(n) \le 1.
Dividindo essa desigualdade por n^k>0, obtemos
-\frac{1}{n^k} \le \frac{\cos(n)}{n^k} \le \frac{1}{n^k},
ou seja,
-\frac{1}{n^k} \le a_n \le \frac{1}{n^k}.

Passo 3

Como k>0, temos
\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^k} = 0 \quad\text{e}\quad \lim_{n\to\infty}\Bigl(-\frac{1}{n^k}\Bigr)=0.

Passo 4

Pelo Teorema do Confronto, já que a_n está “espremido” entre duas sequências que tendem a zero, concluímos
\lim_{n\to\infty} a_n = 0.

Resposta

\displaystyle 0

Exercícios relacionados