Qual seria a entalpia de aquecimento de alumínio liquido de 1.000 K até 1.500 K ?

Passo 1

O enunciado pede a entalpia de aquecimento do alumínio líquido ao subir de 1000\\ \mathrm{K} para 1500\\ \mathrm{K}.
Informações explícitas do enunciado: temperatura inicial T_1=1000\\ \mathrm{K} e temperatura final T_2=1500\\ \mathrm{K}. Não foi fornecida massa nem capacidade calorífica.
Decisão prática (já que massa não foi dada): vou calcular a variação de entalpia específica (por unidade de massa) e também por mol, porque são respostas úteis na prova quando a massa não está especificada.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar. A variação de entalpia específica ao aquecer uma substância sem mudança de fase é dada por
\Delta h=\int_{T_1}^{T_2} c_p(T)\,dT,
onde c_p(T) é a capacidade calorífica específica a pressão constante. Explicando com calma:
  • c_p em unidades por massa é, por exemplo, \mathrm{J\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1}}. Ele diz quanta energia (em joules) é necessária para elevar 1 kg da substância em 1 kelvin.
  • Existe também c_{p,m}, a capacidade calorífica molar, com unidade \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}; ela diz quanta energia para 1 mol subir 1 K.
    Se c_p for aproximadamente constante no intervalo de temperatura, a integral simplifica para
\Delta h \approx c_p\,(T_2-T_1).
No nosso caso o alumínio já está líquido em 1000\\ \mathrm{K} (ponto de fusão do Al \approx 933\\ \mathrm{K}) e não haverá mudança de fase entre 1000 e 1500\\ \mathrm{K}. Como não foi dada uma função c_p(T), adotamos uma aproximação razoável: para metais o valor molar de c_p fica próximo de 3R (Regra de Dulong–Petit), onde R é a constante dos gases.

Passo 3

Calcular a capacidade calorífica molar aproximada usando a regra de Dulong–Petit:
c_{p,m}\approx 3R.
Tomando R=8{,}3144626\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}, temos
c_{p,m}\approx 3\cdot 8{,}3144626 = 24{,}943\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.
Isto significa que, aproximadamente, 1 mol de alumínio precisa de \approx 24{,}943\\ \mathrm{J} para aumentar 1 K.

Passo 4

Converter a capacidade molar para capacidade por massa (escolhemos massa por kg). Para isso usamos a massa molar do alumínio:
M(\mathrm{Al})=26{,}9815\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}=0{,}0269815\\ \mathrm{kg\cdot mol^{-1}}.
A capacidade por massa é
c_p=\frac{c_{p,m}}{M}=\frac{24{,}943\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}}{0{,}0269815\\ \mathrm{kg\cdot mol^{-1}}} \approx 924{,}4\\ \mathrm{J\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1}}.
Interpretação: precisamos de cerca de 924{,}4\\ \mathrm{J} para elevar 1\\ \mathrm{kg} de Al líquido em 1\\ \mathrm{K} (apróx.).

Passo 5

Calcular a variação de entalpia aproximada assumindo c_p constante:
\Delta T=T_2-T_1=1500-1000=500\\ \mathrm{K}.
Então, por massa,
\Delta h \approx c_p\,(T_2-T_1)=924{,}4\cdot 500 \approx 462{,}2\times 10^{3}\\ \mathrm{J\cdot kg^{-1}}.
Em unidades mais usuais,
\Delta h \approx 462{,}2\\ \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}}.
Também posso dar por mol (útil se trabalhar com mols):
\Delta h_{molar}\approx c_{p,m}\,(T_2-T_1)=24{,}943\cdot 500 \approx 12{,}472\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}}=12{,}472\\ \mathrm{kJ\cdot mol^{-1}}.

Passo 6

Observações sobre precisão e uso em prova:
  • Esta é uma estimativa baseada na aproximação c_{p,m}\approx 3R (Regra de Dulong–Petit) e assumindo c_p praticamente constante entre 1000\\ \mathrm{K} e 1500\\ \mathrm{K}. Para metais isso costuma dar resultados razoáveis de ordem correta; valores experimentais de c_p do alumínio líquido podem ser um pouco maiores, então a incerteza típica é da ordem de algumas dezenas de percentuais em casos extremos.
  • Se a prova fornecer um valor tabulado de c_p do alumínio líquido, substitua esse valor na fórmula \Delta h=c_p\Delta T para obter resposta mais precisa.
  • Resumo rápido de “como fazer na prova”: identifique se há mudança de fase; se não, use \Delta h=\int c_p\,dT. Se c_p não variar muito, use \Delta h\approx c_p\Delta T. Converta entre capacidades molares e por massa se necessário usando a massa molar.

Resposta

\Delta h \approx 4,622\times 10^{5}\\ \mathrm{J\cdot kg^{-1}} = 462{,}2\\ \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}}
\Delta h \approx 1,2472\times 10^{4}\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}} = 12{,}472\\ \mathrm{kJ\cdot mol^{-1}}

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