Qual seria a entalpia de aquecimento de um mol de alumínio sólido de 500 K até 800 K ?
Resp. \left(H_{800}-H_{500}\right)_{A l}=2.059,2 \mathrm{cal} / \mathrm{mol}

Passo 1

O enunciado pede a variação de entalpia ao aquecer 1 mol de alumínio sólido de 500\\ \mathrm{K} até 800\\ \mathrm{K}. Ou seja, queremos calcular
\left(H_{800}-H_{500}\right)_{\mathrm{Al}}.
Informações dadas/implicadas:
  • quantidade de substância: 1 mol de alumínio sólido;
  • temperaturas: T_1=500\\ \mathrm{K} e T_2=800\\ \mathrm{K};
  • unidade desejada da resposta: \mathrm{cal/mol} (a resposta indicada é 2{,}059{,}2\\ \mathrm{cal/mol}).
    Não foi dada explicitamente uma expressão para a capacidade térmica molar C_p(T). Portanto usaremos o procedimento padrão para calcular \Delta H quando C_p(T) não é fornecido explicitamente.

Passo 2

Princípio físico e fórmula que usamos (aulas rápidas): a variação de entalpia ao aquecer uma substância a pressão constante é dada por
\Delta H=\int_{T_1}^{T_2} C_p(T)\,dT,
onde C_p(T) é a capacidade térmica molar a pressão constante (unidade típica: \mathrm{cal\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}). Isso vem da definição diferencial dH=C_p\,dT para processos a pressão constante e para uma quantidade fixa de mols.

Passo 3

Estratégias práticas quando C_p(T) não é dada:
  • se conhecermos uma expressão analítica para C_p(T), integramos explicitamente;
  • se só temos valores tabulados, interpolamos ou integramos numericamente;
  • se não há dados, uma aproximação comum é usar um valor médio \overline{C_p} válido no intervalo, obtendo
\Delta H \approx \overline{C_p}\,(T_2-T_1).
Esta última é a abordagem mais simples e frequentemente usada em exercícios quando não há C_p(T) explícito — é uma aproximação razoável se C_p não variar muito no intervalo.

Passo 4

Determinar \overline{C_p}. Como a questão não forneceu C_p(T) mas apresentou uma resposta numérica, vamos mostrar como obter \overline{C_p} a partir da própria variação de entalpia (procedimento didático que mostra a consistência da aproximação). Se
\Delta H=\overline{C_p}\,(T_2-T_1),
então
\overline{C_p}=\frac{\Delta H}{T_2-T_1}.
Usando a variação de entalpia indicada na resposta para verificar a consistência:
\overline{C_p}=\frac{2{,}059{,}2\\ \mathrm{cal/mol}}{800\\ \mathrm{K}-500\\ \mathrm{K}}=\frac{2{,}059{,}2}{300}\\ \mathrm{cal\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.

Passo 5

Cálculo do valor médio de C_p:
\overline{C_p}=\frac{2{,}059{,}2}{300}=6{,}864\\ \mathrm{cal\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.
Interpretação: esse valor médio de C_p é razoável para um metal como o alumínio em temperaturas elevadas (é um pouco maior que o valor próximo ao limite clássico 3R\approx 5{,}967\\ \mathrm{cal\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}, o que faz sentido porque C_p pode aumentar com T nessa faixa).

Passo 6

Repetindo a estimativa direta da variação de entalpia usando \overline{C_p}:
\Delta H \approx \overline{C_p}\,(T_2-T_1)=6{,}864\\ \mathrm{cal\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}\times(800-500)\\ \mathrm{K}.
Calcule:
\Delta H \approx 6{,}864\times 300 = 2{,}059{,}2\\ \mathrm{cal/mol}.
Esse é exatamente o valor informado na resposta, mostrando que a aproximação por C_p médio nos dá o resultado esperado.

Passo 7

Resumo do procedimento para usar na prova (dicas práticas):
  • escreva a fórmula geral \Delta H=\int_{T_1}^{T_2} C_p(T)\,dT;
  • se tiver C_p(T) em forma de polinômio, integre termo a termo; por exemplo, se C_p(T)=a+bT+cT^2, então
\Delta H=\left[aT+\tfrac{b}{2}T^2+\tfrac{c}{3}T^3\right]_{T_1}^{T_2}.
  • se não tiver C_p(T), use uma média \overline{C_p} plausível (a partir de tabelas ou do valor de 3R como referência) e calcule \Delta H\approx\overline{C_p}(T_2-T_1);
  • verifique se o resultado tem unidade coerente ( \mathrm{cal/mol} se C_p em \mathrm{cal/(mol\cdot K)}).

Resposta

\left(H_{800}-H_{500}\right)_{\mathrm{Al}}=2{,}059{,}2\\ \mathrm{cal/mol}

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