A série
converge ou diverge ? Justifique.
Passo 1
O enunciado dá a série
e pergunta se ela converge ou diverge. Informações relevantes que temos explicitamente:
é o
-ésimo termo da série. Todos os
são positivos, pois a razão dentro dos parênteses é positiva para todo
. A pergunta é única: determinar convergência ou divergência da série e justificar.
Passo 2
Vamos observar a forma do termo geral
. Ele é uma potência com expoente
, ou seja, algo na forma
, onde
Quando o termo geral tem essa forma com expoente
, um critério natural e prático é o teste da raiz (teste de Cauchy), porque ele trata exatamente do comportamento da
-ésima raiz de
. Vou explicar o teste com calma no próximo passo.
Passo 3
Ensinando o teste da raiz (de maneira didática): seja uma série com termos reais
(podemos trabalhar com
se necessário). Definimos
O teste da raiz diz:
- Se
, a série converge absolutamente (logo converge). - Se
, a série diverge (os termos não vão a zero suficientemente rápido). - Se
, o teste é inconclusivo.
Intuição rápida: se
, então para
grande
se comporta como
. Se
então
decai geometricamente como uma potência de algo menor que
, e a soma se parece com uma série geométrica convergente.
Como nosso
já é positivo e está na forma
, calcular
é direto e o teste da raiz é o caminho mais curto e confiável.
Passo 4
Calculemos a
-ésima raiz de
:
Agora precisamos do limite quando
dessa expressão. Para isso, divido numerador e denominador por
:
Tomando o limite
, os termos
tendem a zero, então
Portanto
Passo 5
Aplicando o teste da raiz: como obtivemos
, concluímos que a série
converge absolutamente. Uma explicação alternativa e complementar (útil para a prova): escolha um número
com
por exemplo
. Como
, existe
tal que para todo
temos
. Assim, para
,
A série
é geométrica convergente (porque
), então por comparação a cauda
converge. Somando um número finito de termos iniciais não altera a convergência, logo a série inteira converge. Isso reforça a conclusão do teste da raiz.
Passo 6
Resumo didático curto para a hora da prova: identificar que o termo geral é
, aplicar o teste da raiz, calcular
e verificar que o limite é
. Portanto converge absolutamente.
Resposta
Converge (convergência absoluta).