A série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+1}\right)^{n}
converge ou diverge ? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+1}\right)^{n}
e pergunta se ela converge ou diverge. Informações relevantes que temos explicitamente:
a_n=\left(\frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+1}\right)^{n}
é o n-ésimo termo da série. Todos os a_n são positivos, pois a razão dentro dos parênteses é positiva para todo n\ge1. A pergunta é única: determinar convergência ou divergência da série e justificar.

Passo 2

Vamos observar a forma do termo geral \,a_n. Ele é uma potência com expoente n, ou seja, algo na forma (\text{base}_n)^n, onde
\text{base}_n=\frac{n^{2}+1}{2n^{2}+1}.
Quando o termo geral tem essa forma com expoente n, um critério natural e prático é o teste da raiz (teste de Cauchy), porque ele trata exatamente do comportamento da n-ésima raiz de a_n. Vou explicar o teste com calma no próximo passo.

Passo 3

Ensinando o teste da raiz (de maneira didática): seja uma série com termos reais a_n (podemos trabalhar com |a_n| se necessário). Definimos
L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}.
O teste da raiz diz:
  • Se L<1, a série \sum a_n converge absolutamente (logo converge).
  • Se L>1, a série diverge (os termos não vão a zero suficientemente rápido).
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
Intuição rápida: se \sqrt[n]{|a_n|}\to L, então para n grande a_n se comporta como L^n. Se L<1 então a_n decai geometricamente como uma potência de algo menor que 1, e a soma se parece com uma série geométrica convergente.
Como nosso a_n já é positivo e está na forma (\text{base}_n)^n, calcular \sqrt[n]{a_n} é direto e o teste da raiz é o caminho mais curto e confiável.

Passo 4

Calculemos a n-ésima raiz de a_n:
\sqrt[n]{a_n}=\frac{n^{2}+1}{2n^{2}+1}.
Agora precisamos do limite quando n\to\infty dessa expressão. Para isso, divido numerador e denominador por n^{2}:
\frac{n^{2}+1}{2n^{2}+1}=\frac{1+\dfrac{1}{n^{2}}}{2+\dfrac{1}{n^{2}}}.
Tomando o limite n\to\infty, os termos \dfrac{1}{n^{2}} tendem a zero, então
\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}+1}{2n^{2}+1}=\frac{1+0}{2+0}=\frac{1}{2}.
Portanto
L=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\frac{1}{2}.

Passo 5

Aplicando o teste da raiz: como obtivemos L=\dfrac{1}{2}<1, concluímos que a série \sum a_n converge absolutamente. Uma explicação alternativa e complementar (útil para a prova): escolha um número r com
\frac{1}{2}<r<1
por exemplo r=\tfrac{3}{4}. Como \sqrt[n]{a_n}\to \tfrac{1}{2}, existe N tal que para todo n\ge N temos \sqrt[n]{a_n}\le r. Assim, para n\ge N,
a_n=\left(\sqrt[n]{a_n}\right)^n \le r^n.
A série \sum_{n=N}^{\infty} r^n é geométrica convergente (porque r<1), então por comparação a cauda \sum_{n=N}^{\infty} a_n converge. Somando um número finito de termos iniciais não altera a convergência, logo a série inteira converge. Isso reforça a conclusão do teste da raiz.

Passo 6

Resumo didático curto para a hora da prova: identificar que o termo geral é (\text{base}_n)^n, aplicar o teste da raiz, calcular \sqrt[n]{a_n}=(n^{2}+1)/(2n^{2}+1) e verificar que o limite é 1/2<1. Portanto converge absolutamente.

Resposta

Converge (convergência absoluta).

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