Utilize o método Gauss para resolver o seguinte sistema linear:
\begin{aligned} 10 x+2 y+z & =7 \\\ x+5 y+z & =-8 \\\\ 2 x+3 y+10 z & =6 \end{aligned}
Considere:
\mathbf{x}_{0}=\left(\begin{array}{c} 0,7 \\\\ -1,6 \\\\ 0,6 \end{array}\right) \quad \text { e } \quad \varepsilon=0,05 .

Passo 1

O enunciado pede que eu resolva o sistema linear
\begin{aligned} 10x + 2y + z &= 7,\\[4pt] x + 5y + z &= -8,\\[4pt] 2x + 3y + 10z &= 6, \end{aligned}
utilizando o “método Gauss”. O enunciado fornece também o palpite inicial
\mathbf{x}_0=\begin{pmatrix}0,7\\\ -1,6\\\ 0,6\end{pmatrix}
e a tolerância \varepsilon=0,05.
Informações relevantes dadas:
A=\begin{pmatrix}10 & 2 & 1\\[2pt]1 & 5 & 1\\[2pt]2 & 3 & 10\end{pmatrix},\qquad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}7\\[2pt]-8\\[2pt]6\end{pmatrix},
palpite inicial \mathbf{x}^{(0)}=\mathbf{x}_0 e critério de parada com \varepsilon=0,05.]

Passo 2

Escolha do método: o enunciado diz “método Gauss” mas também deu um palpite inicial e tolerância — isso indica que o professor provavelmente quer um método iterativo associado ao nome Gauss, ou seja, o método de Gauss–Seidel (às vezes chamado só de “Gauss”). Vou usar Gauss–Seidel porque:
  • aceita um palpite inicial \mathbf{x}^{(0)};
  • usa valores atualizados dentro de cada iteração (geralmente converge mais rápido que Jacobi);
  • é o método que costuma ser solicitado quando falam em “método Gauss” com palpite inicial.
Observação: se o enunciado realmente quisesse eliminação de Gauss (método direto), o palpite e a tolerância não fariam sentido. Portanto Gauss–Seidel é a escolha natural aqui.

Passo 3

Apresentação do método Gauss–Seidel e fórmulas específicas.
Para um sistema A\mathbf{x}=\mathbf{b} com A=(a_{ij}), o Gauss–Seidel atualiza coordenada a coordenada pela fórmula
x_i^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}\Bigl(b_i-\sum_{j=1}^{i-1}a_{ij}x_j^{(k+1)}-\sum_{j=i+1}^{n}a_{ij}x_j^{(k)}\Bigr),
onde x_j^{(k+1)} já atualizados (para j<i) são usados. Aqui i é o índice da variável, k é o número da iteração, a_{ii} é o elemento da diagonal.
Aplicando essa fórmula ao nosso sistema (variáveis x,y,z na ordem 1,2,3) obtemos as fórmulas iterativas:
\begin{aligned} x^{(k+1)} &= \frac{1}{10}\bigl(7 - 2\,y^{(k)} - z^{(k)}\bigr),\\[6pt] y^{(k+1)} &= \frac{1}{5}\bigl(-8 - x^{(k+1)} - z^{(k)}\bigr),\\[6pt] z^{(k+1)} &= \frac{1}{10}\bigl(6 - 2\,x^{(k+1)} - 3\,y^{(k+1)}\bigr). \end{aligned}
Expliquei o que cada símbolo significa: x^{(k)} é o valor aproximado de x na k-ésima iteração, e análogo para y^{(k)} e z^{(k)}.]

Passo 4

Verificação rápida de convergência (condição prática).
Uma condição suficiente comum para convergência de Gauss–Seidel é que a matriz seja diagonalmente dominante pelas linhas (ou simétrica definida positiva). Verifico a dominância:
\begin{aligned} |a_{11}| &= |10| \ge |2|+|1| = 3,\\[4pt] |a_{22}| &= |5| \ge |1|+|1| = 2,\\[4pt] |a_{33}| &= |10| \ge |2|+|3| = 5. \end{aligned}
Como cada diagonal domina a soma dos outros elementos da linha, o método Gauss–Seidel deve convergir para a solução do sistema a partir de qualquer palpite razoável, inclusive do \mathbf{x}^{(0)} dado.]

Passo 5

Critério de parada que vamos usar.
Vou usar o critério de parada baseado na diferença entre iterações consecutivas usando a norma infinito (máximo das diferenças absolutas nas componentes):
\|\mathbf{x}^{(k+1)}-\mathbf{x}^{(k)}\|_\infty=\max\bigl\{|x^{(k+1)}-x^{(k)}|,\;|y^{(k+1)}-y^{(k)}|,\;|z^{(k+1)}-z^{(k)}|\bigr\}.
Paro quando \|\mathbf{x}^{(k+1)}-\mathbf{x}^{(k)}\|_\infty<\varepsilon com \varepsilon=0,05.

Passo 6

Iteração k=0\to 1. Parto de
\mathbf{x}^{(0)}=\begin{pmatrix}0,7\\[2pt]-1,6\\[2pt]0,6\end{pmatrix}.
Calculo x^{(1)}:
x^{(1)}=\frac{1}{10}\bigl(7-2\,y^{(0)}-z^{(0)}\bigr) =\frac{1}{10}\bigl(7-2(-1,6)-0,6\bigr) =\frac{1}{10}(7+3,2-0,6)=\frac{1}{10}(9,6)=0,96.
Calculo y^{(1)}:
y^{(1)}=\frac{1}{5}\bigl(-8-x^{(1)}-z^{(0)}\bigr) =\frac{1}{5}\bigl(-8-0,96-0,6\bigr) =\frac{1}{5}(-9,56)=-1,912.
Calculo z^{(1)}:
z^{(1)}=\frac{1}{10}\bigl(6-2x^{(1)}-3y^{(1)}\bigr) =\frac{1}{10}\bigl(6-2(0,96)-3(-1,912)\bigr) =\frac{1}{10}(6-1,92+5,736)=\frac{1}{10}(9,816)=0,9816.
Logo
\mathbf{x}^{(1)}=\begin{pmatrix}0,96\\[2pt]-1,912\\[2pt]0,9816\end{pmatrix}.
Diferenças \mathbf{x}^{(1)}-\mathbf{x}^{(0)}:
|x^{(1)}-x^{(0)}|=0,26,\quad |y^{(1)}-y^{(0)}|=0,312,\quad |z^{(1)}-z^{(0)}|=0,3816,
\|\mathbf{x}^{(1)}-\mathbf{x}^{(0)}\|_\infty=0,3816>\varepsilon,
portanto continua.]

Passo 7

Iteração k=1\to 2.
Calculo x^{(2)}:
x^{(2)}=\frac{1}{10}\bigl(7-2\,y^{(1)}-z^{(1)}\bigr) =\frac{1}{10}\bigl(7-2(-1,912)-0,9816\bigr) =\frac{1}{10}(7+3,824-0,9816)=\frac{1}{10}(9,8424)=0,98424.
Calculo y^{(2)}:
y^{(2)}=\frac{1}{5}\bigl(-8-x^{(2)}-z^{(1)}\bigr) =\frac{1}{5}\bigl(-8-0,98424-0,9816\bigr) =\frac{1}{5}(-9,96584)=-1,993168.
Calculo z^{(2)}:
z^{(2)}=\frac{1}{10}\bigl(6-2x^{(2)}-3y^{(2)}\bigr) =\frac{1}{10}\bigl(6-2(0,98424)-3(-1,993168)\bigr) =\frac{1}{10}(6-1,96848+5,979504)=\frac{1}{10}(10,011024)=1,0011024.
Logo
\mathbf{x}^{(2)}=\begin{pmatrix}0,98424\\[2pt]-1,993168\\[2pt]1,0011024\end{pmatrix}.
Diferenças \mathbf{x}^{(2)}-\mathbf{x}^{(1)}:
|x^{(2)}-x^{(1)}|=0,02424,\quad |y^{(2)}-y^{(1)}|=0,081168,\quad |z^{(2)}-z^{(1)}|=0,0195024,
\|\mathbf{x}^{(2)}-\mathbf{x}^{(1)}\|_\infty=0,081168>\varepsilon,
ainda não satisfeita, continua.]

Passo 8

Iteração k=2\to 3.
Calculo x^{(3)}:
x^{(3)}=\frac{1}{10}\bigl(7-2\,y^{(2)}-z^{(2)}\bigr) =\frac{1}{10}\bigl(7-2(-1,993168)-1,0011024\bigr) =\frac{1}{10}(7+3,986336-1,0011024)=\frac{1}{10}(9,9852336)=0,99852336.
Calculo y^{(3)}:
y^{(3)}=\frac{1}{5}\bigl(-8-x^{(3)}-z^{(2)}\bigr) =\frac{1}{5}\bigl(-8-0,99852336-1,0011024\bigr) =\frac{1}{5}(-9,99962576)=-1,999925152.
Calculo z^{(3)}:
z^{(3)}=\frac{1}{10}\bigl(6-2x^{(3)}-3y^{(3)}\bigr) =\frac{1}{10}\bigl(6-2(0,99852336)-3(-1,999925152)\bigr) =\frac{1}{10}(6-1,99704672+5,999775456)=\frac{1}{10}(10,002728736)=1,0002728736.
Logo
\mathbf{x}^{(3)}=\begin{pmatrix}0,99852336\\[2pt]-1,999925152\\[2pt]1,0002728736\end{pmatrix}.
Diferenças \mathbf{x}^{(3)}-\mathbf{x}^{(2)}:
|x^{(3)}-x^{(2)}|=0,01428336,\quad |y^{(3)}-y^{(2)}|=0,006757152,\quad |z^{(3)}-z^{(2)}|=0,0008295264,
\|\mathbf{x}^{(3)}-\mathbf{x}^{(2)}\|_\infty=0,01428336<\varepsilon.
Como a norma infinito da diferença ficou menor que \varepsilon=0,05, satisfaço o critério de parada na iteração k=3.]

Passo 9

Interpretação dos resultados e observações finais.
A partir da iteração 3 temos uma aproximação da solução dentro da tolerância pedida. Pela natureza do método (e pela dominância diagonal), se continuássemos as componentes tenderiam para uma solução bem próxima de
x\approx 0,999\\ (\text{próximo de }1),\qquad y\approx -2,00,\qquad z\approx 1,00.ó
Mas como a tolerância pedida é relativamente grosseira ( 0,05), a aproximação obtida em \mathbf{x}^{(3)} já é aceitável.

Resposta

x \approx 0,99852336\
y \approx -1,999925152\
z \approx 1,0002728736

Exercícios relacionados