Qual é a série uniforme de pagamentos equivalente aos seguintes valores presentes:
b) $ 16.000$. Sendo a série composta de oito pagamentos anuais a uma taxa de juros nominal de 16.000 a.a capitalizados trimestralmente.

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é um valor presente de R$ 16.000 que precisa ser transformado numa série de 8 pagamentos anuais iguais (uma anuidade). O assunto é “equivalência de capitais” na modalidade de juros compostos, mais especificamente a fórmula do valor presente de uma anuidade.
O que vamos precisar:
  1. Converter a taxa nominal de 20% a.a. capitalizada trimestralmente numa taxa efetiva anual.
  2. Usar a fórmula do valor presente de uma anuidade-imediata: PV = A cdot 1 - (1+i)^-ni onde é o valor presente, é o valor de cada pagamento, é a taxa efetiva anual e .

Passo 2

Primeiro “desenrola” a taxa nominal de 20% a.a. com capitalização trimestral. Como são juros compostos trimestrais, a taxa por trimestre é
itri = 0,204 = 0,05 (5% ao trimestre)
Agora, para achar a taxa efetiva anual i = (1 + 0,05)^4 - 1 = 1,05^4 - 1 approx 1,21550625 - 1 = 0,21550625 , elevamos à 4ª potência e subtraímos 1:
Então a taxa efetiva anual é cerca de 21,550625%.

Passo 3

Agora vamos à fórmula do valor presente da anuidade-imediata de 8 anos:
PV = A cdot an|i com an|i = 1 - (1+i)^-ni
No nosso caso, a8|,0,21550625 = 1 - (1 + 0,21550625)^-80,21550625 , e . Precisamos achar o fator

Passo 4

Calcular 1+i = 1,21550625, (1+i)^8 approx 1,21550625^8 approx 4,76445, (1+i)^-8 = 14,76445 approx 0,20978 :
a8|,i = 1 - 0,209780,21550625 = 0,790220,21550625 approx 3,6663
Então

Passo 5

Por fim, isolamos 16.000 = A cdot 3,6663 Longrightarrow A = 16.0003,6663 approx 4.365,67 na fórmula do PV:

Resposta

A série de 8 pagamentos anuais iguais é de aproximadamente R$ 4.365,67 por ano.

Exercícios relacionados