Qual das séries abaixo é convergente?
sumn=1^infty (n+7)!7^n n!

Passo 1

O enunciado pergunta se a série
sumn=1^infty (n+7)!7^n,n!
é convergente. O conteúdo aqui é séries numéricas e o teste mais direto para esse tipo de termo fatorial/exponencial é o teste da razão.

Passo 2

Definimos o termo geral
an = (n+7)!7^n,n!
e consideramos o quociente
an+1an

Passo 3

Calculemos
an+1 = (n+1+7)!7^,n+1,(n+1)! = (n+8)!7^,n+1,(n+1)!
Logo,
an+1an = (n+8)!7^,n+1(n+1)! (n+7)!7^n,n! = 7^n7^n+1;n!(n+1)!;(n+8)!(n+7)! = 17;1n+1;(n+8)

Passo 4

Observamos que
an+1an = n+87(n+1) Longrightarrow limntoinftyan+1an = 17<1
Pelo teste da razão, se esse limite for menor que 1, a série converge.

Resposta

A série sumn=1^infty(n+7)!7^n,n! é convergente.

Exercícios relacionados