Qual das séries abaixo é convergente?
sumn=1^infty 7^n(n+7)!n!

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=1^infty 7^n(n+7)!n!
é convergente. O conteúdo principal que vamos usar é o teste da razão (d’Alembert), que compara an+1/an.

Passo 2

Chamando
an = 7^n(n+7)!n!,
note que
(n+7)!n!=(n+7)(n+6)cdots(n+1),
ou seja, é um polinômio de grau 7 em n.

Passo 3

Aplicamos o teste da razão, calculando
L = limntoinfty|an+1an|

Passo 4

Temos
an+1an = 7^,n+1,(n+8)!/(n+1)!7^n,(n+7)!/n! =7;(n+8)!(n+7)!;n!(n+1)! =7;n+8n+1
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L=limntoinfty7n+8,n+1,=7cdot1=7>1

Passo 5

Como L>1, o teste da razão diz que a série diverge.

Resposta

A série diverge, portanto não é convergente.

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