Qual das séries abaixo é convergente?
sumn=1^infty n^7 n!(n+7)!

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série numérica
sumn=1^infty n^7,n!(n+7)!
O conteúdo aqui é análise de séries pelo teste do termo geral (ou por comparação assintótica). Vamos precisar simplificar o termo geral e estudar seu comportamento quando ntoinfty.

Passo 2

Primeiro simplificamos o termo geral
an=n^7,n!(n+7)!
Como (n+7)!=(n+7)(n+6)cdots(n+1),n!, cancelamos n! e obtemos
an=n^7(n+1)(n+2)cdots(n+7)

Passo 3

Para verificar se a série converge, olhamos o limite de an. Note que
(n+1)(n+2)cdots(n+7) = n^7,(1+tfrac1n)(1+tfrac2n)cdots(1+tfrac7n)
Como cada fator l(1+tfrac k nr)to1, a product tends to 1. Logo
an =n^7n^7,(1+tfrac1n)cdots(1+tfrac7n) ;xrightarrow[ntoinfty];1

Passo 4

Como o termo geral an não tende a zero (tende a 1neq0), pelo teste do termo geral concluímos que a série não pode convergir.

Resposta

A série diverge (não é convergente).

Exercícios relacionados