Qual das séries abaixo é convergente?
sumn=1^infty n^7(n+7)!n!

Passo 1

O enunciado nos dá a série
sumn=1^infty n^7,(n+7)!n!
e pede para verificar se ela converge. O conteúdo principal aqui é o teste do termo geral: se o termo an não tende a zero, a série necessariamente diverge.

Passo 2

Definimos
an = n^7,(n+7)!n!,
Repare que
(n+7)!n! = (n+7)(n+6)cdots(n+1),
que é um produto de 7 fatores todos da ordem de n. Logo para n grande temos
(n+7)!n!sim n^7
Assim
an = n^7,(n+7)!n!sim n^7cdot n^7=n^14

Passo 3

Como ansim n^14, segue que
limntoinftyan = infty neq 0
Pelo teste do termo geral, se limntoinftyanneq0 então a série
sum an diverge.

Resposta

A série sumn=1^inftyn^7(n+7)!n! é divergente, logo não é convergente.

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