Quais das séries alternadas convergem e quais divergem? Justifique suas respostas.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da série alternada
O conteúdo é séries alternadas, e os principais testes que vamos usar são:
- O teste da divergência (se o termo geral não tende a zero, a série diverge).
- O critério de Leibniz (para séries alternadas, se os termos positivos decrescem a zero, ela converge).
Passo 2
Defina
e o termo geral da série
Calcule o limite de
quando
:
Logo
.
Passo 3
Como o termo geral
não tende a zero (porque
), a série falha no teste da divergência. Portanto ela não pode convergir, mesmo sendo alternada.
Resposta
A série diverge, pois o termo geral não tende a zero.