Quais das séries alternadas convergem e quais divergem? Justifique suas respostas.
sumn=1^infty(-1)^n+1 cdot 3 raizn+1raizn+1

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série alternada
sumn=1^infty(-1)^n+1,3raizn+1raizn+1
O conteúdo é séries alternadas, e os principais testes que vamos usar são:
  1. O teste da divergência (se o termo geral não tende a zero, a série diverge).
  2. O critério de Leibniz (para séries alternadas, se os termos positivos decrescem a zero, ela converge).

Passo 2

Defina
an = 3raizn+1raizn+1
e o termo geral da série
bn = (-1)^n+1an
Calcule o limite de an quando ntoinfty:
limntoinftyan = limntoinfty3raizn+1raizn+1 = limntoinfty3raizn,raiz1+1/nraizn,l(1+1/raiznr) = 3cdot11=3
Logo limntoinftyan=3neq0.

Passo 3

Como o termo geral bn não tende a zero (porque lim an=3), a série falha no teste da divergência. Portanto ela não pode convergir, mesmo sendo alternada.

Resposta

A série diverge, pois o termo geral não tende a zero.

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