5. Séries Antecipadas

Tema: Fundo de capacitação ambiental a ser acumulado em 12 meses (meta: \mathrm{R} \ 600.000$; taxa: 1,2% a.m.).
Desafio: Calcular a parcela mensal para série antecipada e comparar com a postecipada.

Passo 1

O enunciado pede para acumular um fundo de \text{R\$ }600000 em 12 meses, com depósitos mensais feitos no início de cada período (série antecipada) a uma taxa de i = 1,2\% ao mês. O conteúdo é séries financeiras (anuidades). Para resolver, vamos usar a fórmula do valor futuro de uma anuidade antecipada e, em seguida, comparar com a anuidade postecipada.

Passo 2

Calcular o fator de capitalização acumulado em 12 meses:
(1+i)^{n} = (1+0,012)^{12}.
Primeiro, (1+0,012)^{12}\approx 1,15391.

Passo 3

Determinar o fator de acumulação de uma anuidade postecipada (série ordinária):
s_{n|i} = \frac{(1+i)^{n}-1}{i} = \frac{1,15391 - 1}{0,012} \approx 12,8258.

Passo 4

Aplicar a fórmula do valor futuro de anuidade antecipada, que é
FV = P_{\text{ant}} \;s_{n|i}\;(1+i).
Isolando P_{\text{ant}}:
P_{\text{ant}} = \frac{FV}{s_{n|i}\,(1+i)} = \frac{600000}{12,8258 \times 1,012} \approx 46225,7.

Passo 5

Calcular a parcela para anuidade postecipada usando
FV = P_{\text{post}} \;s_{n|i},
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P_{\text{post}} = \frac{600000}{12,8258} \approx 46800,5.

Passo 6

Comparar os valores:
  • Parcela antecipada: \approx \text{R\$ }46225,70
  • Parcela postecipada: \approx \text{R\$ }46800,50
Como esperado, a série antecipada exige depósito mensal menor, pois cada parcela rende um mês a mais.

Resposta

Parcela mensal antecipada: \text{R\$ }46225,70
Parcela mensal postecipada: \text{R\$ }46800,50

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