Quais das séries convergem absolutamente, quais convergem condicionalmente e quais divergem? Justifique suas respostas.
sumn=1^infty(-1)^n+1 cdot(0.1)^n

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma série infinita dada por:
sumn=1^infty(-1)^n+1 cdot (0.1)^n
O objetivo é dizer se essa série converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries alternadas e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma série convergir absolutamente ou condicionalmente.
Convergência Absoluta: Uma série sum an converge absolutamente se a série das magnitudes, ou seja, sum |an|, também converge.
Convergência Condicional: Uma série sum an converge condicionalmente se ela converge, mas a série das magnitudes sum |an| não converge.
Divergência: Se a série não converge nem absolutamente nem condicionalmente, então ela diverge.
Agora, vamos aplicar isso à nossa série:
  1. Análise da Série das Magnitudes:
    Vamos considerar a série das magnitudes:
sumn=1^infty |(-1)^n+1 cdot (0.1)^n| = sumn=1^infty (0.1)^n
Essa é uma série geométrica com razão r = 0.1. Sabemos que uma série geométrica sum r^n converge se |r| < 1. Aqui, 0.1 < 1, então a série das magnitudes converge.
  1. Conclusão sobre a Série Original:
    Como a série das magnitudes converge, isso implica que a série original converge absolutamente.

Resposta

A série sumn=1^infty(-1)^n+1 cdot (0.1)^n converge absolutamente.

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