Quais das séries convergem absolutamente, quais convergem condicionalmente e quais divergem? Justifique suas respostas.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma série infinita dada por:
O objetivo é dizer se essa série converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries alternadas e testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma série convergir absolutamente ou condicionalmente.
Convergência Absoluta: Uma série
converge absolutamente se a série das magnitudes, ou seja,
, também converge.
Convergência Condicional: Uma série
converge condicionalmente se ela converge, mas a série das magnitudes
não converge.
Divergência: Se a série não converge nem absolutamente nem condicionalmente, então ela diverge.
Agora, vamos aplicar isso à nossa série:
- Análise da Série das Magnitudes:
Vamos considerar a série das magnitudes:
Essa é uma série geométrica com razão
. Sabemos que uma série geométrica
converge se
. Aqui,
, então a série das magnitudes converge.
- Conclusão sobre a Série Original:
Como a série das magnitudes converge, isso implica que a série original converge absolutamente.
Resposta
A série
converge absolutamente.