Quais das séries convergem absolutamente, quais convergem condicionalmente e quais divergem? Justifique suas respostas.
sumn=1^infty(-1)^n cdot 1raizn+1

Passo 1

Então, a gente tem essa série aqui: sumn=1^infty (-1)^n cdot 1raizn+1. A pergunta é saber se essa série converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa cada tipo de convergência e aplicar alguns testes de convergência de séries, como o teste da série alternada e o teste da série p.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta. Isso quer dizer que a gente ignora o sinal alternado e verifica se a série de valores absolutos converge. Então, vamos analisar a série sumn=1^infty 1raizn+1.

Passo 3

A série sumn=1^infty 1raizn+1 é uma série p, onde p = 12 porque o denominador é n^1/2. Sabemos que uma série p converge se p > 1 e diverge se p <= 1. Aqui, p = 12 <= 1, então essa série diverge.

Passo 4

Como a série dos valores absolutos diverge, ela não converge absolutamente. Mas ainda pode convergir condicionalmente. Para verificar isso, vamos usar o teste da série alternada. Esse teste diz que se os termos an tendem a zero e são decrescentes, então a série alternada sum (-1)^n an converge.

Passo 5

Vamos verificar os critérios do teste:
  1. Limite dos termos: limn to infty 1raizn+1 = 0. Isso satisfaz o primeiro critério.
  2. Termos decrescentes: 1raizn+1 é uma sequência decrescente porque, conforme n aumenta, os termos diminuem.

Passo 6

Como ambos os critérios do teste da série alternada são satisfeitos, a série sumn=1^infty (-1)^n cdot 1raizn+1 converge condicionalmente.

Resposta

A série sumn=1^infty (-1)^n cdot 1raizn+1 converge condicionalmente.

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