Quais das séries convergem absolutamente, quais convergem condicionalmente e quais divergem? Justifique suas respostas.
Passo 1
Então, a gente tem essa série aqui:
. A pergunta é saber se essa série converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa cada tipo de convergência e aplicar alguns testes de convergência de séries, como o teste da série alternada e o teste da série p.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta. Isso quer dizer que a gente ignora o sinal alternado e verifica se a série de valores absolutos converge. Então, vamos analisar a série
.
Passo 3
A série
é uma série p, onde
porque o denominador é
. Sabemos que uma série p converge se
e diverge se
. Aqui,
, então essa série diverge.
Passo 4
Como a série dos valores absolutos diverge, ela não converge absolutamente. Mas ainda pode convergir condicionalmente. Para verificar isso, vamos usar o teste da série alternada. Esse teste diz que se os termos
tendem a zero e são decrescentes, então a série alternada
converge.
Passo 5
Vamos verificar os critérios do teste:
- Limite dos termos:
. Isso satisfaz o primeiro critério. - Termos decrescentes:
é uma sequência decrescente porque, conforme aumenta, os termos diminuem.
Passo 6
Como ambos os critérios do teste da série alternada são satisfeitos, a série
converge condicionalmente.
Resposta
A série
converge condicionalmente.