Quais séries convergem? E quais divergem?
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2^{n}}{n!}\right)

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série de termos positivos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{n!}.
O conteúdo é teste de convergência para séries, mais especificamente o teste da razão, que é indicado quando há fatoriais ou potências.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão, calculando
L \;=\;\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \quad\text{com}\quad a_n = \frac{2^n}{n!}.
Temos
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2^{\,n+1}/(n+1)!}{2^n/n!} = \frac{2^{\,n+1}}{2^n}\,\frac{n!}{(n+1)!} = 2\;\frac{1}{n+1} \;\longrightarrow\;0 \quad(n\to\infty).
Como L=0<1, a série converge absolutamente, segundo o teste da razão.

Passo 3

Além disso, reconhecemos que
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^n}{n!}=e^{2}.
Como a nossa série começa em n=1, seu valor seria
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^n}{n!} = e^{2}-1,
mas o importante para a convergência é que ela converja absolutamente.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{n!} converge absolutamente (logo, converge). Não há divergência.

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