Quais séries convergem? E quais divergem?
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{8 \arctan n}{n^{2}+1}\right)

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série de termos positivos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{8\arctan n}{n^{2}+1}.
O conteúdo é teste de convergência de série e vamos usar comparação assintótica ou comparação direta com uma série p-série.

Passo 2

Observe que \arctan n é limitado superiormente por \pi/2. Logo, para todo n\ge1,
\arctan n \le \frac{\pi}{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{8\arctan n}{n^{2}+1} \le \frac{8\,( \pi/2 )}{n^{2}} = \frac{4\pi}{n^{2}}.

Passo 3

Sabemos que a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4\pi}{n^{2}}
é uma p-série com p=2>1, portanto converge. Como os termos são não negativos, pela comparação direta (ou critério da comparação) concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{8\arctan n}{n^{2}+1}
converge também.

Passo 4

Alternativamente, pode-se usar o critério da comparação limite: note que quando n\to\infty,
\arctan n \to \frac{\pi}{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{8\arctan n}{n^{2}+1} \sim \frac{4\pi}{n^{2}},
e como \sum 1/n^{2} converge, a série original converge por comparação limite.

Resposta

A série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{8\arctan n}{n^{2}+1}
converge.

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