Quais séries convergem? E quais divergem?
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{-2}{n \sqrt{n}}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\tfrac{-2}{n\sqrt{n}}\Bigr)^{n}.
O conteúdo é teste de convergência de séries de termos gerais, e vamos usar o Teste da raiz para verificar convergência absoluta.

Passo 2

Denotando
a_{n} = \Bigl(\tfrac{-2}{n\sqrt{n}}\Bigr)^{n},
o Teste da raiz pede o cálculo de
\sqrt[n]{\lvert a_{n}\rvert} = \sqrt[n]{\Bigl(\tfrac{2}{n\sqrt{n}}\Bigr)^{n}} = \frac{2}{n^{3/2}}.

Passo 3

Avaliamo-lo no limite n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{2}{n^{3/2}} = 0.
Como esse valor é menor que 1, o Teste da raiz garante convergência absoluta da série.

Passo 4

Convergência absoluta implica convergência da série original sem sinais. Portanto não é preciso aplicar outro teste.

Resposta

A série
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\tfrac{-2}{n\sqrt{n}}\Bigr)^{n}
converge absolutamente e, consequentemente, converge.

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