Quais séries convergem? E quais divergem?
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2^{n}}{3+4^{n}}\right)

Passo 1

O enunciado nos pede para decidir se a série infinita \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{3+4^{n}}
converge ou diverge. Isso envolve testes de convergência de séries numéricas; em particular, podemos comparar com uma série geométrica ou usar o teste da razão.

Passo 2

Observe que, para todo n\ge1, temos
3+4^{n} > 4^{n},
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0 < \frac{2^{n}}{3+4^{n}} < \frac{2^{n}}{4^{n}} = \Bigl(\tfrac12\Bigr)^{n}.
A série geométrica \sum (\tfrac12)^{n} converge (razão \tfrac12<1), então nossa série converge por comparação direta.

Passo 3

Como cheque adicional, aplicamos o teste da razão a \displaystyle a_{n}=\frac{2^{n}}{3+4^{n}}:
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{2^{\,n+1}/\bigl(3+4^{\,n+1}\bigr)}{2^{n}/\bigl(3+4^{n}\bigr)} =2\,\frac{3+4^{n}}{3+4\cdot4^{n}} \;\xrightarrow[n\to\infty]{}\; 2\,\frac{4^{n}}{4\cdot4^{n}} =\tfrac12<1.
Como o limite da razão é menor que 1, o teste da razão confirma a convergência absoluta.

Passo 4

Portanto a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{3+4^{n}} converge.

Resposta

A série converge.

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