Quais das séries nos exercícios 1-36 convergem e quais divergem? Justifique as suas respostas.
sumeta=1^infty tg 1n

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série sumn=1^infty tantfrac1n. Vamos usar conceitos de séries numéricas e, em especial, o teste de comparação por limite.

Passo 2

Para séries cujo termo geral an se comporta como uma função simples quando ntoinfty, podemos usar o limite
L = limntoinfty tan(1/n)1/n
Como limxto0 tfractan xx = 1, basta notar que, ao definirmos x=1/n, temos xto0 quando ntoinfty. Logo,
L = limntoinfty tan(1/n)1/n = 1
Isso mostra que tan(1/n) é assintoticamente equivalente a 1/n.

Passo 3

A série harmônica sum 1/n é divergente. Pelo teste da comparação por limite, se
0 < L = limntoinfty anbn < infty
e sum bn diverge, então sum an também diverge. Aqui an=tan(1/n) e bn=1/n, com L=1. Portanto a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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