Usando o Teste da Razão, teste a série sumn=1^infty(-1)^n n^33^n para convergência absoluta. (1,5 pontos)

Passo 1

A série dada é ∑_{n=1}{∞}(-1){n}\frac{n{3}}{3{n}}. O que queremos testar é a convergência absoluta, ou seja, a série de termos positivos |a_{n}| = \frac{n{3}}{3{n}}. Vamos usar o Teste da Razão para isso.

Passo 2

O Teste da Razão afirma que, para uma série ∑ a_{n} com a_{n} ≥ 0, calculamos
L = limntoinfty an+1an
Se L < 1, a série converge absolutamente; se L > 1, diverge; se L = 1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos calcular o quociente entre termos consecutivos a_{n+1} e a_{n}:
an+1an = (n+1)^33^n+1n^33^n = (n+1)^3n^3 cdot 13 = (1 + 1n)^3 cdot 13
Agora tomamos o limite quando n → ∞:
Como limntoinfty(1+tfrac1n)^3 = 1, temos
L = limntoinfty an+1an = 13
Como L = tfrac13 < 1, concluímos pelo Teste da Razão que a série de termos absolutos converge.

Passo 4

Portanto, a série original ∑_{n=1}{∞}(-1){n} \frac{n{3}}{3{n}} converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente pelo Teste da Razão, pois o limite da razão é 1/3 < 1.

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