Usando o Teste da Razão, teste a série
para convergência absoluta. (1,5 pontos)
Passo 1
A série dada é ∑_{n=1}{∞}(-1){n}\frac{n{3}}{3{n}}. O que queremos testar é a convergência absoluta, ou seja, a série de termos positivos |a_{n}| = \frac{n{3}}{3{n}}. Vamos usar o Teste da Razão para isso.
Passo 2
O Teste da Razão afirma que, para uma série ∑ a_{n} com a_{n} ≥ 0, calculamos
Se L < 1, a série converge absolutamente; se L > 1, diverge; se L = 1, o teste é inconclusivo.
Passo 3
Vamos calcular o quociente entre termos consecutivos a_{n+1} e a_{n}:
Agora tomamos o limite quando n → ∞:
Como , temos
Como
Como
, concluímos pelo Teste da Razão que a série de termos absolutos converge.
Passo 4
Portanto, a série original ∑_{n=1}{∞}(-1){n} \frac{n{3}}{3{n}} converge absolutamente.
Resposta
A série converge absolutamente pelo Teste da Razão, pois o limite da razão é 1/3 < 1.