As séries numéricas são construídas a partir da soma infinita dos termos de uma sequência. Ou seja, o termo geral de uma série sempre é uma sequência, e essa sequência, em alguns casos, pode auxiliar no estudo da divergência da série por meio do uso do critério do termo geral ou critério da divergência. Sobre a relação entre sequências e séries, analise as seguintes asserções e a relação proposta entre elas. A sequência converge para 0. Porque a série é convergente. Sobre as asserções, assinale a alternativa correta a seguir.
a. A asserção I é uma proposição verdadeira, e a asserção II é uma proposição falsa.
b. As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
c. A asserção I é uma proposição falsa, e a asserção II é uma proposição verdadeira.
d. As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
e. As asserções I e II são proposições falsas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas afirmações sobre sequências e séries numéricas. A primeira fala que a sequência $ a_n = \frac{n2}{5n} $ converge para 0. A segunda diz que a série $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n2}{5n} $ é convergente. Nosso objetivo é analisar se essas afirmações são verdadeiras ou falsas e ver como elas se relacionam. Para isso, vamos usar conceitos de limites, convergência de sequências e critérios de convergência de séries.

Passo 2

Vamos começar analisando a primeira afirmação: $ a_n = \frac{n2}{5n} $ converge para 0. Para entender isso, precisamos calcular o limite de $ a_n $ quando $ n $ tende ao infinito.

Passo 3

Calculando o limite:
limn to infty n^25^n
Sabemos que, quando temos uma fração onde o denominador cresce exponencialmente e o numerador cresce polinomialmente, o denominador domina. Ou seja, $ 5^n $ cresce muito mais rápido que $ n^2 $, fazendo com que o limite seja 0.

Passo 4

Então, a primeira afirmação é verdadeira: $ \frac{n2}{5n} $ realmente converge para 0.

Passo 5

Agora, vamos para a segunda afirmação: a série $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n2}{5n} $ é convergente. Para verificar isso, podemos usar o Critério da Razão.

Passo 6

O Critério da Razão nos diz que, se limitarmos o quociente entre termos consecutivos de uma série a um valor $ L $ menor que 1, a série converge.
Vamos calcular:
L
Como $ \frac{1}{5} < 1 $, a série converge.

Passo 7

Portanto, a segunda afirmação também é verdadeira: a série $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n2}{5n} $ realmente é convergente.

Passo 8

Agora, precisamos verificar se a segunda afirmação justifica a primeira. A justificativa aqui seria que a convergência da série implica que os termos da sequência tendem a zero, o que é verdade. Porém, no nosso caso, estamos usando o fato de que a sequência tende a zero para concluir sobre a série, não o contrário.

Passo 9

Então, embora ambas as afirmações sejam verdadeiras, a segunda não está sendo usada como justificativa correta para a primeira.

Resposta

d. As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.

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