A séries seguintes são convergentes ou divergente? Justifique.
sumn=1^+infty n e^-n.

Passo 1

O enunciado pede para vermos se a série de termos positivos sumn=1^infty n e^-n converge ou diverge, usando conhecimento sobre testes de convergência de séries, em especial o teste da razão ou comparação com uma série geométrica.

Passo 2

Vamos aplicar o teste da razão. Definindo an = n e^-n, considere a razão entre termos consecutivos:
an+1an = (n+1)e^-(n+1)n e^-n = n+1n,e^-1
Como limntoinfty(n+1)/n = 1, temos
L = limntoinfty an+1an = e^-1 < 1
Pelo teste da razão, se L<1, a série converge.

Passo 3

Para reforçar, podemos comparar com a série geométrica. Note que
n e^-n = n,(e^-1)^n
Lembrando que sumn=1^infty n x^n = x(1-x)^2 para |x|<1, com x=e^-1 obtemos soma finita, confirmando a convergência.

Resposta

A série é convergente.

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