Suppose that the directional derivatives of f(x, y) are known at a given point in two nonparallel directions given by unit vectors \mathbf{u} and \mathbf{v}. Is it possible to find \nabla f at this point? If so, how would you do it?
Passo 1
O enunciado pergunta se, conhecendo-se as derivadas direcionais de f(x,y) em dois vetores unitários não paralelos \mathbf{u}=(u_1,u_2) e \mathbf{v}=(v_1,v_2), é possível recuperar o vetor gradiente \nabla f=(f_x,f_y) naquele ponto. O conteúdo envolvido é a relação entre derivada direcional e produto escalar, e precisaremos montar e resolver um sistema linear 2\times 2.
Passo 2
Lembramos que a derivada direcional de f na direção unitária \mathbf{u} é
D_{\mathbf{u}}f \;=\;\nabla f\cdot \mathbf{u}
e de modo análogo
D_{\mathbf{v}}f \;=\;\nabla f\cdot \mathbf{v}.
Logo, se definirmos
D_{\mathbf{u}}f = A \quad\text{e}\quad D_{\mathbf{v}}f = B,