Suppose that the directional derivatives of f(x, y) are known at a given point in two nonparallel directions given by unit vectors \mathbf{u} and \mathbf{v}. Is it possible to find \nabla f at this point? If so, how would you do it?

Passo 1

O enunciado pergunta se, conhecendo-se as derivadas direcionais de f(x,y) em dois vetores unitários não paralelos \mathbf{u}=(u_1,u_2) e \mathbf{v}=(v_1,v_2), é possível recuperar o vetor gradiente \nabla f=(f_x,f_y) naquele ponto. O conteúdo envolvido é a relação entre derivada direcional e produto escalar, e precisaremos montar e resolver um sistema linear 2\times 2.

Passo 2

Lembramos que a derivada direcional de f na direção unitária \mathbf{u} é
D_{\mathbf{u}}f \;=\;\nabla f\cdot \mathbf{u}
e de modo análogo
D_{\mathbf{v}}f \;=\;\nabla f\cdot \mathbf{v}.
Logo, se definirmos
D_{\mathbf{u}}f = A \quad\text{e}\quad D_{\mathbf{v}}f = B,
temos as duas equações lineares
\begin{cases} u_1\,f_x + u_2\,f_y = A,\\\ v_1\,f_x + v_2\,f_y = B. \end{cases}

Passo 3

Como \mathbf{u} e \mathbf{v} não são paralelos, a matriz dos coeficientes
M = \begin{pmatrix} u_1 & u_2\\\ v_1 & v_2 \end{pmatrix}
é invertível. Basta então resolver
M \begin{pmatrix} f_x\\\ f_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A\\\ B \end{pmatrix}
invertendo M.

Passo 4

O determinante de M é
\det M = u_1v_2 - u_2v_1 \neq 0.
A inversa de M é
M^{-1} = \frac{1}{u_1v_2 - u_2v_1} \begin{pmatrix} v_2 & -u_2\\\\ -\,v_1 & u_1 \end{pmatrix}.
Multiplicando pelo vetor \bigl(A,B\bigr)^T, obtemos
\begin{pmatrix} f_x\\\ f_y \end{pmatrix} = \frac{1}{u_1v_2 - u_2v_1} \begin{pmatrix} v_2\,A - u_2\,B\\\\ -\,v_1\,A + u_1\,B \end{pmatrix}.

Resposta

Sim. Se \displaystyle D_{\mathbf{u}}f = A e \displaystyle D_{\mathbf{v}}f = B, então
\nabla f = \begin{pmatrix} f_x\\\ f_y \end{pmatrix} = \frac{1}{u_1v_2 - u_2v_1} \begin{pmatrix} v_2\,A - u_2\,B\\\\ -\,v_1\,A + u_1\,B \end{pmatrix}.

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