O que significa conceitualmente o produto escalar, \vec{a} \cdot \vec{b} ?

Passo 1

O enunciado pergunta qual é o significado conceitual do produto escalar de dois vetores \vec{a} e \vec{b}. O conteúdo envolvido é Álgebra Vetorial, mais precisamente interpretação geométrica e algébrica do produto escalar.

Passo 2

Definimos o produto escalar em coordenadas como
\vec{a}\cdot\vec{b} = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + a_{3}b_{3}
quando \vec{a}=(a_{1},a_{2},a_{3}) e \vec{b}=(b_{1},b_{2},b_{3}). Essa é a definição algébrica que soma os produtos das componentes correspondentes.

Passo 3

Geometricamente, podemos escrever
\vec{a}\cdot\vec{b} = \lvert \vec{a}\rvert\,\lvert \vec{b}\rvert\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre \vec{a} e \vec{b}. Essa fórmula relaciona o produto escalar às magnitudes dos vetores e ao cosseno do ângulo entre eles.

Passo 4

Interpretando
\lvert \vec{a}\rvert\lvert \vec{b}\rvert\cos\theta = \lvert \vec{a}\rvert \times (\lvert \vec{b}\rvert\cos\theta),
vemos que \lvert \vec{b}\rvert\cos\theta é a projeção de \vec{b} sobre a direção de \vec{a}. Logo, \vec{a}\cdot\vec{b} mede “quanto de \vec{b}” está na direção de \vec{a}, multiplicado pelo comprimento de \vec{a}.

Passo 5

Dessa forma, o produto escalar tem interpretações práticas:
  1. Se \vec{a}\cdot\vec{b}>0, o ângulo \theta é agudo \cos\theta>0, vetores têm direção “semelhante”.
  2. Se \vec{a}\cdot\vec{b}=0, os vetores são ortogonais.
  3. Se \vec{a}\cdot\vec{b}<0, o ângulo é obtuso \cos\theta<0, vetores apontam em sentidos “opostos”.
    Além disso, em Física, o trabalho realizado por uma força \vec{F} ao deslocar um objeto por \vec{d} é exatamente W = \vec{F}\cdot\vec{d}.

Resposta

Conceitualmente, \vec{a}\cdot\vec{b} mede a extensão de um vetor na direção do outro (por meio de projeção) multiplicada pela magnitude daquele vetor, fornecendo também um critério de similaridade (ângulo agudo, reto ou obtuso) entre \vec{a} e \vec{b}.

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