O que significa conceitualmente o produto escalar,
?
Passo 1
O enunciado pergunta qual é o significado conceitual do produto escalar de dois vetores
e
. O conteúdo envolvido é Álgebra Vetorial, mais precisamente interpretação geométrica e algébrica do produto escalar.
Passo 2
Definimos o produto escalar em coordenadas como
quando
e
. Essa é a definição algébrica que soma os produtos das componentes correspondentes.
Passo 3
Geometricamente, podemos escrever
onde
é o ângulo entre
e
. Essa fórmula relaciona o produto escalar às magnitudes dos vetores e ao cosseno do ângulo entre eles.
Passo 4
Interpretando
vemos que
é a projeção de
sobre a direção de
. Logo,
mede “quanto de
” está na direção de
, multiplicado pelo comprimento de
.
Passo 5
Dessa forma, o produto escalar tem interpretações práticas:
- Se
, o ângulo é agudo , vetores têm direção “semelhante”. - Se
, os vetores são ortogonais. - Se
, o ângulo é obtuso , vetores apontam em sentidos “opostos”.
Além disso, em Física, o trabalho realizado por uma forçaao deslocar um objeto por é exatamente .
Resposta
Conceitualmente,
mede a extensão de um vetor na direção do outro (por meio de projeção) multiplicada pela magnitude daquele vetor, fornecendo também um critério de similaridade (ângulo agudo, reto ou obtuso) entre
e
.