(a) O que significa dizer que uma reta x=a é uma assíntota vertical da curva y=f(x) ? Trace curvas que ilustrem cada uma das várias possibilidades.
(b) O que significa dizer que uma reta y=L é uma assíntota horizontal da curva y=f(x) ? Trace curvas que ilustrem cada uma das várias possibilidades.

Passo 1

O enunciado pede para definir, usando limites, o que é uma assíntota vertical x=a e uma assíntota horizontal y=L da curva y=f(x), e depois dar exemplos (ou esboços) que mostrem as diferentes possibilidades (sinais de divergência no caso vertical e comportamentos em +infty e/ou -infty no caso horizontal). Vamos usar conceitos de limites infinitos e limites no infinito.

Passo 2

Definição de assíntota vertical. Dizemos que a reta
x=a
é assíntota vertical de y=f(x) se, pelo menos em um dos lados, f(x) “explode” ao nos aproximarmos de a. Formalmente, basta que uma das seguintes condições ocorra:
limxto a^-f(x)=pminfty ou limxto a^+f(x)=pminfty
Isto significa que, à esquerda ou à direita de x=a, a curva sobe sem limite (vai para +infty) ou desce sem limite (vai para -infty).

Passo 3

Possibilidades para assíntota vertical e exemplos de esboço:
1. Ambos os lados tendem a +infty:
f(x) = 1/(x-a)^2. Na vizinhança de x=a, a curva vai para +infty de ambos os lados.
Esboço: uma “campânula” cujos dois braços sobem indefinidamente ao se aproximar de x=a.
2. Lados com sinais opostos:
f(x) = 1/(x-a). À esquerda de a, f(x)to -infty; à direita, f(x)to +infty.
Esboço: braço esquerdo descendo, braço direito subindo à medida que xto a.
3. Ambos os lados tendem a -infty:
f(x) = -1/(x-a)^2. A curva cai sem limite nos dois lados de x=a.
Esboço: “campânula” invertida cujos dois braços descem indefinidamente.

Passo 4

Definição de assíntota horizontal. Dizemos que a reta
y=L
é assíntota horizontal de y=f(x) se, em +infty, em -infty, ou em ambos, f(x) se aproxima de L. Formalmente, há assíntota horizontal para xto+infty se
limxto+inftyf(x)=L,
e/ou para xto-infty se
limxto-inftyf(x)=L

Passo 5

Possibilidades para assíntota horizontal e exemplos de esboço:
1. Nos dois sentidos xtopminfty a curva vai para L:
f(x) = L+1x. À esquerda e à direita, o termo 1/x some e f(x)to L.
Esboço: curva que, longe da origem, se aproxima de y=L vindo às vezes de cima, às vezes de baixo.
2. Só em +infty:
f(x) = L+e^-x. Para xto+infty, e^-xto 0 e f(x)to L. Em xto-infty, e^-xto+infty, não há assíntota naquela direção.
Esboço: à direita a curva tende a L, à esquerda explode para +infty.
3. Só em -infty:
f(x) = L-e^x. Para xto-infty, e^xto0 e f(x)to L. Para xto+infty, e^xto+infty.
Esboço: à esquerda a curva tende a L, à direita explode.

Resposta

(a) A reta x=a é assíntota vertical de y=f(x) quando, ao nos aproximarmos de a pela esquerda ou pela direita, f(x)topminfty. Exemplos de esboço:
  • f(x)=1/(x-a)^2: ambos os lados vão para +infty.
  • f(x)=1/(x-a): lado esquerdo to -infty, direito to +infty.
  • f(x)=-1/(x-a)^2: ambos os lados vão para -infty.
(b) A reta y=L é assíntota horizontal de y=f(x) quando limxto+inftyf(x)=L e/ou limxto-inftyf(x)=L. Exemplos de esboço:
  • f(x)=L+1/x: em xtopminfty, f(x)to L.
  • f(x)=L+e^-x: só em +infty a curva tende a L.
  • f(x)=L-e^x: só em -infty a curva tende a L.

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