(a) O que significa dizer que uma reta
é uma assíntota vertical da curva
? Trace curvas que ilustrem cada uma das várias possibilidades.
(b) O que significa dizer que uma reta
é uma assíntota horizontal da curva
? Trace curvas que ilustrem cada uma das várias possibilidades.
(b) O que significa dizer que uma reta
Passo 1
O enunciado pede para definir, usando limites, o que é uma assíntota vertical
e uma assíntota horizontal
da curva
, e depois dar exemplos (ou esboços) que mostrem as diferentes possibilidades (sinais de divergência no caso vertical e comportamentos em
e/ou
no caso horizontal). Vamos usar conceitos de limites infinitos e limites no infinito.
Passo 2
Definição de assíntota vertical. Dizemos que a reta
é assíntota vertical de
se, pelo menos em um dos lados,
“explode” ao nos aproximarmos de
. Formalmente, basta que uma das seguintes condições ocorra:
Isto significa que, à esquerda ou à direita de
, a curva sobe sem limite (vai para
) ou desce sem limite (vai para
).
Passo 3
Possibilidades para assíntota vertical e exemplos de esboço:
. Ambos os lados tendem a
:
f(x) . Na vizinhança de
, a curva vai para
de ambos os lados.
Esboço: uma “campânula” cujos dois braços sobem indefinidamente ao se aproximar de .
f(x)
Esboço: uma “campânula” cujos dois braços sobem indefinidamente ao se aproximar de
f(x)
Esboço: braço esquerdo descendo, braço direito subindo à medida que
f(x)
Esboço: “campânula” invertida cujos dois braços descem indefinidamente.
Passo 4
Definição de assíntota horizontal. Dizemos que a reta
é assíntota horizontal de
se, em
, em
, ou em ambos,
se aproxima de
. Formalmente, há assíntota horizontal para
se
e/ou para
se
Passo 5
Possibilidades para assíntota horizontal e exemplos de esboço:
. Nos dois sentidos
a curva vai para
:
f(x) . À esquerda e à direita, o termo
some e
.
Esboço: curva que, longe da origem, se aproxima de vindo às vezes de cima, às vezes de baixo.
f(x)
Esboço: curva que, longe da origem, se aproxima de
f(x)
Esboço: à direita a curva tende a
f(x)
Esboço: à esquerda a curva tende a
Resposta
(a) A reta
é assíntota vertical de
quando, ao nos aproximarmos de
pela esquerda ou pela direita,
. Exemplos de esboço:
-
: ambos os lados vão para . -
: lado esquerdo , direito . -
: ambos os lados vão para .
(b) A reta
é assíntota horizontal de
quando
e/ou
. Exemplos de esboço:
-
: em , . -
: só em a curva tende a . -
: só em a curva tende a .