Dê o significado de cada um dos seguintes termos:
b. Um conjunto de vetores \left\{v_{1}, \cdots, v_{n}\right\} gerar um vetor u

Passo 1

O enunciado pede para explicar, em linguagem de Álgebra Linear, o que significa dizer que um conjunto de vetores \{v_{1},\dots,v_{n}\} “gera” um vetor u. Para resolver isso, precisamos usar o conceito de combinação linear e de subespaço gerado (span).

Passo 2

Dizemos que o conjunto de vetores \{v_{1},\dots,v_{n}\} gera (ou “gera linearmente”) o vetor u quando existe uma combinação linear desses vetores que resulte exatamente em u. Ou seja, devem existir escalares \lambda_{1},\dots,\lambda_{n} no corpo de definição (por exemplo, \mathbb{R} ou \mathbb{C}) tais que
u = \lambda_{1}v_{1} + \lambda_{2}v_{2} + \cdots + \lambda_{n}v_{n}.
Em outras palavras, u pertence ao subespaço gerado por \{v_{1},\dots,v_{n}\}, também chamado de span, isto é,
u \in \mathrm{span}\{v_{1},\dots,v_{n}\}.

Resposta

O conjunto \{v_{1},\dots,v_{n}\} gera o vetor u se e somente se existem escalares \lambda_{1},\dots,\lambda_{n} tais que
u = \lambda_{1}v_{1} + \cdots + \lambda_{n}v_{n}.

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