Dê o significado de cada um dos seguintes termos:
c. Um conjunto de vetores \left\{v_{1}, \cdots, v_{n}\right\} gerar \mathbb{R}^{2}

Passo 1

O enunciado pede a definição do que significa que um conjunto de vetores \{v_{1},\dots,v_{n}\} “gera” o espaço \mathbb{R}^{2}. Esse conceito pertence ao conteúdo de combinações lineares e “span” (espaço gerado) em álgebra linear.

Passo 2

Uma combinação linear dos vetores v_{1},\dots,v_{n} é qualquer vetor da forma
\alpha_{1}v_{1} + \alpha_{2}v_{2} + \cdots + \alpha_{n}v_{n},
onde \alpha_{1},\dots,\alpha_{n} são escalares reais.

Passo 3

O conjunto de todas as combinações lineares possíveis de v_{1},\dots,v_{n} é chamado de espaço gerado (ou span) desses vetores, denotado por
\operatorname{span}\{v_{1},\dots,v_{n}\} =\bigl\{\alpha_{1}v_{1} + \cdots + \alpha_{n}v_{n}\mid \alpha_{i}\in\mathbb{R}\bigr\}.

Passo 4

Dizemos que \{v_{1},\dots,v_{n}\} gera \mathbb{R}^{2} quando
\operatorname{span}\{v_{1},\dots,v_{n}\} = \mathbb{R}^{2},
ou seja, todo vetor de \mathbb{R}^{2} pode ser escrito como combinação linear de v_{1},\dots,v_{n}.

Resposta

Um conjunto de vetores \{v_{1},\dots,v_{n}\} gera \mathbb{R}^{2} se, e somente se, qualquer vetor de \mathbb{R}^{2} puder ser expresso como combinação linear desses vetores, isto é,
\operatorname{span}\{v_{1},\dots,v_{n}\} = \mathbb{R}^{2}.

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