Sobre os conjuntos de vetores abaixo, diga se é LI ou LD.
\{(1,-2,-1),(3,2,5),(-1,2,3)\}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se o conjunto de vetores
\{(1,-2,-1),(3,2,5),(-1,2,3)\} em \mathbb{R}^3 é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD). Para isso, vamos usar o critério do determinante: se montarmos uma matriz com esses vetores como linhas (ou colunas) e o determinante for diferente de zero, então o conjunto é LI; se for zero, é LD.

Passo 2

Montamos a matriz cujas linhas são os vetores dados e escrevemos seu determinante:
A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 \\\\ 3 & 2 & 5 \\\\ -1 & 2 & 3 \end{pmatrix}
\det(A)= \begin{vmatrix} 1 & -2 & -1 \\\\ 3 & 2 & 5 \\\\ -1 & 2 & 3 \end{vmatrix}

Passo 3

Calculamos o determinante por expansão na primeira linha:
\det(A) =1\cdot\begin{vmatrix}2&5\\\ 2&3\end{vmatrix} -(-2)\cdot\begin{vmatrix}3&5\\\ -1&3\end{vmatrix} +(-1)\cdot\begin{vmatrix}3&2\\\ -1&2\end{vmatrix}.
Agora os menores:
\begin{vmatrix}2&5\\\ 2&3\end{vmatrix}=2\cdot3-5\cdot2=-4, \quad \begin{vmatrix}3&5\\\ -1&3\end{vmatrix}=3\cdot3-5\cdot(-1)=14, \quad \begin{vmatrix}3&2\\\ -1&2\end{vmatrix}=3\cdot2-2\cdot(-1)=8.
Portanto,
\det(A)=1\cdot(-4)+2\cdot14+(-1)\cdot8=-4+28-8=16.

Passo 4

Como \det(A)=16\neq0, a única solução da combinação
c_1(1,-2,-1)+c_2(3,2,5)+c_3(-1,2,3)=(0,0,0)
é c_1=c_2=c_3=0. Logo os vetores são linearmente independentes.

Resposta

O conjunto é linearmente independente.

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