Se Z \sim N(0,1), calcule:
Determine z tal que:
P(Z leq z)=0,75.

Passo 1

O enunciado pede: determinar z tal que
P(Z \leq z)=0,75,
onde Z\sim N(0,1) é a distribuição normal padrão.
Informações dadas e o que se quer:
  • Dado: Z tem média 0 e variância 1.
  • Pedido: encontrar o quantil z correspondente à probabilidade acumulada 0,75.

Passo 2

Entendendo o que é pedir P(Z\le z)=0,75.
A função de distribuição acumulada da normal padrão é denotada por \Phi(z), isto é,
\Phi(z)=P(Z\le z).
Pedimos o valor z tal que
\Phi(z)=0,75.
Esse z também é chamado de quantil de ordem 0,75 ou quartil superior.

Passo 3

Propriedades úteis da normal padrão (explicação didática):
  • A curva da normal padrão é simétrica em torno de 0. Isso implica que \Phi(0)=0,5.
  • Se p>0,5, o quantil correspondente é positivo; se p<0,5, é negativo.
    Como 0,75>0,5, esperamos z>0.

Passo 4

Como obter z na prática (três maneiras comuns):
  1. Usar uma tabela da normal padrão (tabela de \Phi).
  2. Usar uma calculadora/comando estatístico com função inversa \Phi^{-1}.
  3. Fazer interpolação linear entre valores da tabela para maior precisão.
    Aqui vou mostrar o método com tabela + interpolação (útil na prova sem calculadora).

Passo 5

Valores típicos de tabela \Phi (pegos de uma tabela padrão da normal):
\Phi(0,67)=0,7486,\qquad \Phi(0,68)=0,7517.
Note que peguei esses números da tabela da normal padrão (valores comumente encontrados em livros e tabelas).

Passo 6

Fazer interpolação linear entre 0,67 e 0,68 para encontrar z tal que \Phi(z)=0,75.
Raciocínio da interpolação: assumir que entre 0,67 e 0,68 a função \Phi varia quase linearmente, então
z \approx 0,67 + \frac{0,75-\Phi(0,67)}{\Phi(0,68)-\Phi(0,67)}\times 0,01.

Passo 7

Calcular os números da interpolação. Primeiro a diferença numeradora e denominador (tudo em notação TeX):
0,75-\Phi(0,67)=0,75-0,7486=0,0014,
\Phi(0,68)-\Phi(0,67)=0,7517-0,7486=0,0031.
A razão é
\frac{0,0014}{0,0031}\approx 0,4516.

Passo 8

Agora calcular z:
z \approx 0,67 + 0,4516\times 0,01 = 0,67 + 0,004516 \approx 0,674516.
Arredondando de forma prática para a prova costuma-se usar z\approx0,674 ou z\approx0,6745 (dependendo da precisão exigida).

Passo 9

Interpretação final e alternativa rápida: também se pode escrever concisamente
z=\Phi^{-1}(0,75)\approx 0,6745,
onde \Phi^{-1} é a função quantil (inversa da CDF da normal padrão). Ferramentas computacionais dão o valor z\approx0,67448975\ldots, consistente com a interpolação acima.

Resposta

z\approx0,6745

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