Se X sim b(n, p), sabendo-se que E(X)=12 e sigma^2=3, determinar:
P(X<12)

Passo 1

Beleza, o exercício diz que E(X)=12 e sigma^2=3 segue uma distribuição binomial, , e já sabemos que
O que precisamos:
  • Lembrar que, pra binomial, e .
  • Encontrar e .
  • Calcular , ou seja .

Passo 2

Vamos achar E(X)=np=12, e Var(X)=np(1-p)=3 . Da teoria:
12,(1-p)=3 ;;Longrightarrow;;1-p=tfrac312=tfrac14 ;;Longrightarrow;;p=tfrac34
n=12p=123/4=16
Então:
  1. .
  2. .
Substituindo na segunda:
E, como ,

Passo 3

Agora sabemos que
Xsim bl(16,tfrac34r)
Queremos
P(X<12) =sumk=0^11binom16kl(tfrac34r)^kl(tfrac14r)^16-k
Em vez de somar 12 termos diretamente, é comum usar
P(X<12)=1-P(X>= 12) =1-sumk=12^16binom16kl(tfrac34r)^kl(tfrac14r)^16-k

Passo 4

Vamos calcular (aproximando cada termo):
  • P(X>=12)approx06304,
  • P(X<12)=1-06304approx03696
Somando esses cinco dá
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Resposta

boxedP(X<12)approx03696

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