Se
é simétrica e
é anti-simétrica, mostre que
.
Passo 1
O enunciado diz que
é uma matriz simétrica (
) e
é uma matriz anti-simétrica (
), e pede para mostrar que
Para isso, vamos usar duas propriedades-chave da traça de matrizes:
- Invariância sob transposição:
. - Propriedade cíclica:
.
Passo 2
Como
é simétrica e
é anti-simétrica, temos
Daí segue que
Passo 3
Aplicando a invariância da traça sob transposição,
Em seguida, pela propriedade cíclica da traça,
. Logo
Passo 4
Somando
dos dois lados, obtemos