Se A é simétrica e B é anti-simétrica, mostre que tr(A B)=0.

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz simétrica ( A^T = A) e B é uma matriz anti-simétrica ( B^T = -B), e pede para mostrar que
tr(A B) = 0
Para isso, vamos usar duas propriedades-chave da traça de matrizes:
  1. Invariância sob transposição: tr(X) = tr(X^T).
  2. Propriedade cíclica: tr(XY) = tr(YX).

Passo 2

Como A é simétrica e B é anti-simétrica, temos
A^T = A e B^T = -B
Daí segue que
(AB)^T = B^T ,A^T = (-B),A = -,B A

Passo 3

Aplicando a invariância da traça sob transposição,
tr(A B) = trl((A B)^Tr) = tr(-,B A) = -,tr(B A)
Em seguida, pela propriedade cíclica da traça, tr(B A)=tr(A B). Logo
tr(A B) = -,tr(A B)

Passo 4

Somando tr(A B) dos dois lados, obtemos
2,tr(A B) = 0 Longrightarrow tr(A B) = 0

Resposta

tr(A B) = 0

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