(Simmons, 1b, pag. 103) Use o método dos coeficientes a determinar para encontrar a solução particular de y^prime prime+4 y=sen t. Resposta: yp(x)=13 sen t.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial não-homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 4y = sin t
O conteúdo é o método dos coeficientes a determinar: vamos propor um palpite para yp(t) baseado na forma do termo forçante e ajustar constantes para satisfazer a equação.

Passo 2

Analisamos primeiro a equação homogênea associada
y'' + 4y = 0
A equação característica é
r^2 + 4 = 0Longrightarrow r = pm 2i,
logo a solução homogênea é
yh(t) = C1cos(2t) + C2sin(2t)
Como sin t não aparece em yh, nosso palpite para yp será da forma
yp(t) = Acos t + Bsin t

Passo 3

Calculamos as derivações de yp:
yp' = -Asin t + Bcos t,
yp'' = -Acos t - Bsin t

Passo 4

Substituímos yp, yp'' na equação original:
yp'' + 4yp = (-Acos t - Bsin t) + 4l(Acos t + Bsin tr) = ( -A + 4A)cos t +(-B + 4B)sin t = 3Acos t + 3Bsin t
Isso deve ser igual a sin t, ou seja,
3Acos t + 3Bsin t = 0cdotcos t + 1cdotsin t

Passo 5

Igualamos coeficientes de cos t e sin t:
3A = 0Longrightarrow A = 0,
3B = 1Longrightarrow B = tfrac13
Logo o palpite ajustado é
yp(t) = 0cdotcos t + tfrac13sin t = tfrac13sin t

Resposta

yp(t)=tfrac13sin t.

Exercícios relacionados