Simplifica tanto quanto possível as seguintes expressões algébricas
\frac{a^{-1}+b^{-1}}{(a+b)^{\frac{1}{2}}} \div \frac{a^{-2}-b^{-2}}{\left(b^{2}-a^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\frac{a^{-1}+b^{-1}}{(a+b)^{\tfrac12}} \;\div\; \frac{a^{-2}-b^{-2}}{\bigl(b^{2}-a^{2}\bigr)^{\tfrac12}}.
O conteúdo aqui envolve propriedades de potências, soma de inversos e manipulação de radicais. Vamos reescrever cada parte para depois efetuar a divisão.

Passo 2

Simplificamos primeiro o numerador da primeira fração:
a^{-1}+b^{-1} =\frac{1}{a}+\frac{1}{b} =\frac{b+a}{ab} =\frac{a+b}{ab}.
Então a primeira fração fica
\frac{a^{-1}+b^{-1}}{(a+b)^{\tfrac12}} =\frac{\frac{a+b}{ab}}{(a+b)^{\tfrac12}} =\frac{a+b}{ab\,(a+b)^{\tfrac12}}.

Passo 3

Agora simplificamos o numerador da segunda fração:
a^{-2}-b^{-2} =\frac{1}{a^{2}}-\frac{1}{b^{2}} =\frac{b^{2}-a^{2}}{a^{2}b^{2}}.
Logo a segunda fração é
\frac{a^{-2}-b^{-2}}{\bigl(b^{2}-a^{2}\bigr)^{\tfrac12}} =\frac{\frac{b^{2}-a^{2}}{a^{2}b^{2}}} {\bigl(b^{2}-a^{2}\bigr)^{\tfrac12}} =\frac{b^{2}-a^{2}}{a^{2}b^{2}\,\bigl(b^{2}-a^{2}\bigr)^{\tfrac12}} =\frac{\bigl(b^{2}-a^{2}\bigr)^{\tfrac12}}{a^{2}b^{2}}.

Passo 4

Agora fazemos a divisão entre as duas frações:
\frac{\frac{a+b}{ab\,(a+b)^{\tfrac12}}} {\frac{\bigl(b^{2}-a^{2}\bigr)^{\tfrac12}}{a^{2}b^{2}}} = \frac{a+b}{ab\,(a+b)^{\tfrac12}} \;\times\; \frac{a^{2}b^{2}}{\bigl(b^{2}-a^{2}\bigr)^{\tfrac12}}.
Juntando termos:
=\frac{(a+b)\,a^{2}b^{2}}{ab\,(a+b)^{\tfrac12}\,\bigl(b^{2}-a^{2}\bigr)^{\tfrac12}} =\frac{ab\,(a+b)}{(a+b)^{\tfrac12}\,\bigl(b^{2}-a^{2}\bigr)^{\tfrac12}}.

Passo 5

Reescrevemos (a+b)/(a+b)^{\tfrac12}=(a+b)^{\tfrac12}. Assim
\frac{ab\,(a+b)}{(a+b)^{\tfrac12}\,\bigl(b^{2}-a^{2}\bigr)^{\tfrac12}} = \frac{ab\,(a+b)^{\tfrac12}}{\bigl(b^{2}-a^{2}\bigr)^{\tfrac12}}.
Além disso, \bigl(b^{2}-a^{2}\bigr)^{\tfrac12}=\sqrt{b-a}\,\sqrt{b+a}=(b-a)^{\tfrac12}(a+b)^{\tfrac12}. Logo
\frac{ab\,(a+b)^{\tfrac12}}{(b-a)^{\tfrac12}(a+b)^{\tfrac12}} =\frac{ab}{(b-a)^{\tfrac12}}.

Resposta

\frac{ab}{\sqrt{\,b-a\,}}.

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