Simplifica tanto quanto possível as seguintes expressões algébricas
\frac{a^{2}-1}{n^{2}+a n} \cdot\left(\frac{1}{1+\frac{1}{n}}\right) \cdot\left(\frac{a+a n^{3}+n^{4}+n}{1-a^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\frac{a^{2}-1}{n^{2}+a n}\;\cdot\;\Bigl(\frac{1}{1+\frac{1}{n}}\Bigr)\;\cdot\;\frac{a+a n^{3}+n^{4}+n}{1-a^{2}}.
O conteúdo necessário é fatoração de polinômios e cancelamento de fatores comuns em frações algébricas.

Passo 2

Começo simplificando o segundo fator:
\frac{1}{1+\frac{1}{n}} =\frac{1}{\frac{n+1}{n}} =\frac{n}{n+1}.

Passo 3

Fatora-se o primeiro e o terceiro denominador/numerador envolvendo a^2-1:
a^{2}-1=(a-1)(a+1), \qquad 1-a^{2}=-(a^{2}-1)=-(a-1)(a+1).

Passo 4

Fatora-se o polinômio a+a n^{3}+n^{4}+n agrupando termos:
a+a n^{3}+n^{4}+n =a(1+n^{3})+n(1+n^{3}) =(a+n)(n^{3}+1) =(a+n)(n+1)(n^{2}-n+1).

Passo 5

Substituindo as fatorações na expressão original, obtemos
\frac{(a^{2}-1)}{n(n+a)}\;\cdot\;\frac{n}{n+1}\;\cdot\; \frac{(a+n)(n+1)(n^{2}-n+1)}{-(a^{2}-1)}.

Passo 6

Agora cancelam-se todos os fatores comuns:
  • (a^{2}-1) com -(a^{2}-1)) -1.
  • n no numerador com n no denominador.
  • (a+n) com (n+a).
  • (n+1) com (n+1).
    Fica então
-1\;\times\;(n^{2}-n+1) =-(n^{2}-n+1).

Resposta

A expressão simplificada é
-\bigl(n^{2}-n+1\bigr),
ou equivalentemente
-n^{2}+n-1.

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