Simplifica tanto quanto possível as seguintes expressões algébricas
\frac{x^{-1}+y^{-1}}{x^{-1}-y^{-1}} \cdot \frac{x^{-2}-y^{-2}}{x^{-2}+y^{-2}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar
\frac{x^{-1}+y^{-1}}{x^{-1}-y^{-1}}\;\cdot\;\frac{x^{-2}-y^{-2}}{x^{-2}+y^{-2}},
que envolve potências negativas e frações algébricas. Vamos reescrever cada parte usando x^{-1}=1/x e x^{-2}=1/x^2 para clarear a simplificação.

Passo 2

Considere o primeiro quociente:
\frac{x^{-1}+y^{-1}}{x^{-1}-y^{-1}} =\frac{\frac1x+\frac1y}{\frac1x-\frac1y} =\frac{\frac{x+y}{xy}}{\frac{y-x}{xy}} =\frac{x+y}{y-x}.
Note que \frac{x+y}{y-x}=-\frac{x+y}{x-y}.

Passo 3

Agora o segundo quociente:
\frac{x^{-2}-y^{-2}}{x^{-2}+y^{-2}} =\frac{\frac1{x^2}-\frac1{y^2}}{\frac1{x^2}+\frac1{y^2}} =\frac{\frac{y^2-x^2}{x^2y^2}}{\frac{x^2+y^2}{x^2y^2}} =\frac{y^2-x^2}{x^2+y^2} =-\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}.

Passo 4

Multiplicando os dois resultados:
\Bigl(-\frac{x+y}{x-y}\Bigr)\cdot\Bigl(-\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\Bigr) =\frac{x+y}{x-y}\cdot\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}.
Como x^2-y^2=(x-y)(x+y), temos
\frac{x+y}{x-y}\cdot\frac{(x-y)(x+y)}{x^2+y^2} =\frac{(x+y)^2}{x^2+y^2}.

Resposta

\frac{(x+y)^2}{x^2+y^2}.

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