Simplifica tanto quanto possível as seguintes expressões algébricas
\left(\frac{y-x^{-1}}{x-y^{-1}}-\frac{x+y^{-1}}{y+x^{-1}}\right) \div\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right)

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\Bigl(\frac{y - x^{-1}}{x - y^{-1}} \;-\; \frac{x + y^{-1}}{y + x^{-1}}\Bigr)\;\Big/\;\Bigl(\frac{1}{x} - \frac{1}{y}\Bigr).
O conteúdo aqui é simplificação de expressões racionais: vamos reescrever cada fração com denominador comum, cancelar fatores, usar fatoração de diferença de quadrados e, por fim, efetuar a divisão de frações.

Passo 2

Primeiro, simplificamos
\frac{y - x^{-1}}{x - y^{-1}}
Reescrevendo y = \dfrac{yx}{x} e x^{-1} = \dfrac{1}{x}, o numerador vira \dfrac{yx - 1}{x}. Analogamente, x = \dfrac{xy}{y} e y^{-1} = \dfrac{1}{y}, então o denominador é \dfrac{xy - 1}{y}. Assim,
\frac{y - x^{-1}}{x - y^{-1}} = \frac{\frac{yx - 1}{x}}{\frac{xy - 1}{y}} = \frac{yx - 1}{x}\;\cdot\;\frac{y}{xy - 1} = \frac{y\,(yx - 1)}{x\,(yx - 1)} = \frac{y}{x}.

Passo 3

Agora,
\frac{x + y^{-1}}{y + x^{-1}}
Escrevendo x = \dfrac{xy}{y} e y^{-1} = \dfrac{1}{y} no numerador, fica \dfrac{xy + 1}{y}. No denominador, y = \dfrac{yx}{x} e x^{-1}=\dfrac{1}{x}, dá \dfrac{yx + 1}{x}. Logo,
\frac{x + y^{-1}}{y + x^{-1}} = \frac{\frac{xy + 1}{y}}{\frac{yx + 1}{x}} = \frac{xy + 1}{y}\;\cdot\;\frac{x}{yx + 1} = \frac{x\,(xy + 1)}{y\,(xy + 1)} = \frac{x}{y}.

Passo 4

Substituindo esses resultados, o numerador da expressão original é
\frac{y}{x} - \frac{x}{y} = \frac{y^2 - x^2}{xy}.

Passo 5

O denominador da expressão original é
\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{y - x}{xy}.

Passo 6

Agora fazemos a divisão de frações:
\frac{\frac{y^2 - x^2}{xy}}{\frac{y - x}{xy}} = \frac{y^2 - x^2}{xy}\;\cdot\;\frac{xy}{y - x} = \frac{y^2 - x^2}{y - x}.

Passo 7

Por fim, usamos a fatoração de diferença de quadrados:
y^2 - x^2 = (y - x)(y + x),
então
\frac{y^2 - x^2}{y - x} = y + x.

Resposta

x + y.

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