Simplifica tanto quanto possível as seguintes expressões algébricas
\frac{y-x^{-1}}{x-y^{-1}} \cdot \frac{x+y^{-1}}{y+x^{-1}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar ao máximo a expressão
\frac{y - x^{-1}}{\,x - y^{-1}\,}\,\cdot\,\frac{x + y^{-1}}{\,y + x^{-1}\,}.
Vamos usar que x^{-1}=1/x e y^{-1}=1/y, depois escrever tudo como frações com denominador comum, e por fim cancelar fatores semelhantes.

Passo 2

Reescrevendo cada termo em frações sobre x ou y, temos
y - x^{-1} = \frac{yx - 1}{x}, \quad x - y^{-1} = \frac{xy - 1}{y},
x + y^{-1} = \frac{xy + 1}{y}, \quad y + x^{-1} = \frac{xy + 1}{x}.

Passo 3

Substituindo na expressão original, vem
\frac{y - x^{-1}}{\,x - y^{-1}\,}\,\cdot\,\frac{x + y^{-1}}{\,y + x^{-1}\,} = \frac{\frac{yx - 1}{x}}{\frac{xy - 1}{y}} \;\cdot\; \frac{\frac{xy + 1}{y}}{\frac{xy + 1}{x}} \;=\; \frac{yx - 1}{x}\,\cdot\,\frac{y}{xy - 1}\,\cdot\,\frac{xy + 1}{y}\,\cdot\,\frac{x}{xy + 1}.

Passo 4

Agora basta cancelar os fatores iguais no numerador e denominador:
- x com x,
- y com y,
- (yx - 1) com (xy - 1),
- (xy + 1) com (xy + 1).
Tudo cancela, sobrando 1.

Resposta

A expressão simplifica-se para 1.

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