Simplifique:
3+4 cos 2 alpha+cos 4 alpha;

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
3 + 4cos2alpha + cos4alpha
Vamos usar identidades de ângulo duplo e quádruplo para reescrever tudo em função de cosalpha.

Passo 2

Lembramos a identidade de ângulo duplo para cos4alpha:
cos4alpha = 2cos^2(2alpha) - 1
Substituindo em
3 + 4cos2alpha + cos4alpha
vemos que fica
3 + 4cos2alpha + l(2cos^2(2alpha) - 1r)

Passo 3

Agrupando termos semelhantes, obtemos
3 - 1 + 4cos2alpha + 2cos^2(2alpha) = 2 + 4cos2alpha + 2cos^2(2alpha)
Fatorando 2, dá
2l(1 + 2cos2alpha + cos^2(2alpha)r) = 2l(cos2alpha + 1r)^2

Passo 4

Agora usamos a identidade de ângulo duplo para cos2alpha:
cos2alpha = 2cos^2alpha - 1,
logo
cos2alpha + 1 = 2cos^2alpha
Substituindo em
2l(cos2alpha + 1r)^2
temos
2l(2cos^2alphar)^2 = 2cdot 4cos^4alpha = 8cos^4alpha

Resposta

8cos^4alpha

Exercícios relacionados